Исследуйте функцию fx = √25 - x

Для исследования функции \( f(x) = \sqrt{25 - x} \) необходимо рассмотреть несколько важных аспектов: область определения,寻找零 и свойства графика.

1. Область определения: Данная функция определена, когда выражение под корнем неотрицательно. Поэтому необходимо решить неравенство: \[ 25 - x \geq 0 \] Переносим \( x \) вправо: \[ 25 \geq x \] или \[ x \leq 25. \] Таким образом, область определения функции: \[ x \in (-\infty, 25]. \]

2. Находите нули функции: Чтобы найти нули функции, приравняем \( f(x) \) к нулю: \[ \sqrt{25 - x} = 0. \] Квадратируем обе стороны: \[ 25 - x = 0 \implies x = 25. \] Таким образом, функция имеет нуль в точке \( x = 25 \).

3. Исследование свойств функции:

   • Поведение функции: При \( x \) увеличивается от \( -\infty \) до \( 25 \), \( f(x) \) будет уменьшаться от \( \sqrt{25 - (-\infty)} \) (что ведет к бесконечности) до \( 0 \) при \( x = 25 \).
   • Экстремумы: Функция является убывающей, так как производная \( f'(x) = -\frac{1}{2\sqrt{25 - x}} \) отрицательна на всей области определения.

4. График функции: График функции \( f(x) = \sqrt{25 - x} \) будет иметь вид полуокружности с центром в точке \( (25, 0) \) и радиусом 5, так как максимальное значение функции \( f(x) \) при \( x = -\infty \) стремится к 5. График начинается от точки \( (25, 0) \) и поднимается до точки \( (-\infty, 5) \).

Таким образом, функция имеет область определения \( x \in (-\infty, 25] \), убывает и имеет один нуль в точке \( x = 25 \).