Дан треугольник ABC. AC = 15 см; угол B = 30°; угол C = 45°. Найди сторону AB. Ответ упрости до наименьшего натурального числа под знаком корня.

Чтобы найти сторону AB в треугольнике ABC, где AC = 15 см, угол B = 30°, и угол C = 45°, можно использовать теорему синусов.

Сначала определим угол A. Поскольку сумма углов в треугольнике равна 180°, angle A можно вычислить следующим образом:

\[ \angle A = 180° - \angle B - \angle C = 180° - 30° - 45° = 105°. \]

Теперь применим теорему синусов:

\[ \frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C}, \]

где:

• a = сторона BC,
• b = сторона AC,
• c = сторона AB.

Теперь мы знаем, что AC = b = 15 см, угол B = 30°, угол C = 45°, и угол A = 105°. Подставим эти значения в теорему синусов, чтобы найти сторону AB (c):

\[ \frac{AB}{\sin(105°)} = \frac{15}{\sin(30°)}. \]

Значения синусов градусов:

\[ \sin(30°) = \frac{1}{2}, \quad \sin(105°) = \sin(90° + 15°) = \cos(15°). \]

Сначала вычислим \(\frac{15}{\sin(30°)}\):

\[ \frac{15}{\sin(30°)} = \frac{15}{\frac{1}{2}} = 30. \]

Теперь подставим это значение:

\[ \frac{AB}{\sin(105°)} = 30. \]

Решим для AB:

\[ AB = 30 \cdot \sin(105°). \]

Синус угла 105° может быть представлен через синусы и косинусы:

\[ \sin(105°) = \sin(90° + 15°) = \cos(15°). \]

Теперь подставляем значение синуса:

\[ AB = 30 \cdot \cos(15°). \]

Известно, что \( \cos(15°) = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4} \).

Подставим это:

\[ AB = 30 \cdot \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4} = \frac{30(\sqrt{6} + \sqrt{2})}{4} = \frac{15(\sqrt{6} + \sqrt{2})}{2}. \]

Теперь упростим это выражение, чтобы представить его в наименьшем натуральном числе под знаком корня:

Ответ:

\[ AB = \frac{15(\sqrt{6} + \sqrt{2})}{2}. \]

Таким образом, длина стороны AB в треугольнике ABC равна \(\frac{15(\sqrt{6} + \sqrt{2})}{2}\).