какую часть всех правильных дробей со знаменателем 42 составляют дроби, у которых числитель и знаменатель взаимно простые числа

Чтобы определить, какую часть всех правильных дробей со знаменателем 42 составляют дроби, у которых числитель и знаменатель взаимно простые числа, сначала рассмотрим, что такое правильная дробь и что значит, что два числа взаимно простые.

1. Правильные дроби — это дроби, где числитель меньше знаменателя. В случае дробей со знаменателем 42, числитель может принимать значения от 1 до 41, то есть возможные правильные дроби:

\[ \frac{1}{42}, \frac{2}{42}, \frac{3}{42}, \ldots, \frac{41}{42} \]

Таким образом, всего существует 41 правильная дробь со знаменателем 42.

2. Взаимно простые числа — это такие числа, которые не имеют общих делителей, кроме 1. То есть, для числителя \( a \) и знаменателя \( b \) выполняется условие \(\text{gcd}(a, b) = 1\), где \(\text{gcd}\) — это наибольший общий делитель.

Теперь необходимо найти все такие числители \( a \) от 1 до 41, которые являются взаимно простыми с 42.

3. Найдем делители числа 42:
\[ 42 = 2 \times 3 \times 7 \] Следовательно, взаимно простыми с 42 будут такие числа, которые не делятся на 2, 3 и 7.

4. Используя принцип включения-исключения, найдем количество чисел от 1 до 41, которые не делятся на 2, 3 или 7:

• Всего чисел от 1 до 41: 41
• Числа, делящиеся на 2: \( \left\lfloor \frac{41}{2} \right\rfloor = 20 \)
• Числа, делящиеся на 3: \( \left\lfloor \frac{41}{3} \right\rfloor = 13 \)
• Числа, делящиеся на 7: \( \left\lfloor \frac{41}{7} \right\rfloor = 5 \)

Теперь найдем числа, которые делятся одновременно на 2 и 3 (на 6), на 2 и 7 (на 14), и на 3 и 7 (на 21):

• На 6: \( \left\lfloor \frac{41}{6} \right\rfloor = 6 \)
• На 14: \( \left\lfloor \frac{41}{14} \right\rfloor = 2 \)
• На 21: \( \left\lfloor \frac{41}{21} \right\rfloor = 1 \)

Число, которое делится на 2, 3 и 7 (на 42): 0, так как 42 больше 41.

Теперь вычислим общее количество дробей: \[ N(2 \cup 3 \cup 7) = N(2) + N(3) + N(7) - N(2 \cap 3) - N(2 \cap 7) - N(3 \cap 7) \] \[ = 20 + 13 + 5 - 6 - 2 - 1 = 29 \]

Таким образом, числа от 1 до 41, которые не делятся ни на 2, ни на 3, ни на 7, составляют: \[ 41 - 29 = 12 \]

5. Теперь вычислим, какую часть составляют такие дроби: Взаимно простые дроби составляют 12 из 41.

Таким образом, доля дробей, числители которых взаимно просты со знаменателем 42, равна: \[ \frac{12}{41} \]

Это и есть искомая часть всех правильных дробей со знаменателем 42, имеющих взаимно простые числитель и знаменатель.