На диагонали AC квадрата ABCDвзята точка M. расстояние от точки M до вершины A и B равны соответственно 1 и корню из двух найдите угол ABM. ответ запишите в градусах без наименований

Рассмотрим квадрат ABCD со стороной длины \( a \), где A(0, 0), B(a, 0), C(a, a), D(0, a). Точка M лежит на диагонали AC, которая имеет уравнение \( y = x \).

Пусть координаты точки M равны \( (x, x) \). Дано, что расстояние от точки M до вершины A равно 1, а расстояние до вершины B равно \( \sqrt{2} \).

Сначала найдем координаты точки M исходя из первого условия:

1. Расстояние от M до A: \[ MA = \sqrt{(x - 0)^2 + (x - 0)^2} = \sqrt{2x^2} = x\sqrt{2} \] Условие говорит, что \( MA = 1 \), следовательно: \[ x\sqrt{2} = 1 \implies x = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2} \]

Теперь найдем расстояние от точки M до вершины B:

2. Расстояние от M до B: \[ MB = \sqrt{(x - a)^2 + (x - 0)^2} = \sqrt{(x - a)^2 + x^2} = \sqrt{(x^2 - 2ax + a^2) + x^2} = \sqrt{2x^2 - 2ax + a^2} \] Подставим найденное значение x: \[ MB = \sqrt{2\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^2 - 2a\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right) + a^2} = \sqrt{2\left(\frac{1}{2}\right) - a\sqrt{2} + a^2} = \sqrt{1 - a\sqrt{2} + a^2} \] По условию, \( MB = \sqrt{2} \): \[ \sqrt{1 - a\sqrt{2} + a^2} = \sqrt{2} \] Квадратируя обе стороны, получаем: \[ 1 - a\sqrt{2} + a^2 = 2 \implies a^2 - a\sqrt{2} - 1 = 0 \]

Решим это квадратное уравнение с помощью формулы дискриминанта: \[ D = (\sqrt{2})^2 + 4 \cdot 1 \cdot 1 = 2 + 4 = 6 \] \[ a = \frac{\sqrt{2} \pm \sqrt{6}}{2} \]

Теперь, чтобы найти угол \( \angle ABM \), можем воспользоваться координатами. Точка \( M\left(\frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2}\right) \), A(0, 0) и B(a, 0).

Векторы \( AB \) и \( AM \):

• Вектор \( AB = (a - 0, 0 - 0) = (a, 0) \)
• Вектор \( AM = \left(\frac{\sqrt{2}}{2} - 0, \frac{\sqrt{2}}{2} - 0\right) = \left(\frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2}\right) \)

Теперь найдём косинус угла между векторами \( AB \) и \( AM \): \[ \cos(\theta) = \frac{AB \cdot AM}{|AB| |AM|} = \frac{(a \cdot \frac{\sqrt{2}}{2})}{a \cdot \sqrt{\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^2 + \left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^2}} = \frac{a \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}}{a \cdot \sqrt{1}} = \frac{\frac{\sqrt{2}}{2}}{1} = \frac{\sqrt{2}}{2} \]

Следовательно, угол \( \angle ABM = 45^\circ \).

Таким образом, угол ABM равен: \[ \text{Ответ: } 45 \]