Алгебра, 9 класс 1. дан квадратный трёхчлен -x² - 4x + 10 а) найдите его корни б) выделите из него квадрат двучлена 2. докажите, что при любом значении x квадратный трёхчлен x² + 3x + 7 принимает только положительные значения 3. разложите на множители квадратный трёхчлен: а) x² - 7x + 10 б) - 3x² + 20x + 7 4. дан квадратный трёхчлен 1/4x² + 2x - 1. Определите, при каком значении x он принимает наименьшее значение и найдите это значение. 5. Не выполняя построений, опишите свойства функции y = (x - 2)² + 3
С удовольствием помогу с вашими задачами по алгебре!
1. Квадратный трёхчлен -x² - 4x + 10
а) Чтобы найти корни квадратного трёхчлена, воспользуемся формулой дискриминанта:
\[ D = b^2 - 4ac \]
В нашем случае, \( a = -1 \), \( b = -4 \), \( c = 10 \).
Рассчитаем:
\[ D = (-4)^2 - 4 \cdot (-1) \cdot 10 = 16 + 40 = 56 \]
Теперь, корни находим по формуле:
\[ x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} \]
Подставляем значения:
\[ x_{1,2} = \frac{-(-4) \pm \sqrt{56}}{2 \cdot (-1)} = \frac{4 \pm 2\sqrt{14}}{-2} = -2 \mp \sqrt{14} \]
Ответ: \( x_1 = -2 - \sqrt{14}, \quad x_2 = -2 + \sqrt{14} \)
б) Чтобы выделить квадрат двучлена, представим трёхчлен в виде:
\[ -x² - 4x + 10 = - (x² + 4x - 10) \]
Теперь выделим полный квадрат:
\[ x² + 4x = (x + 2)² - 4 \]
Таким образом, получаем:
\[ - ((x + 2)² - 4 - 10) = - (x + 2)² + 14 \]
Итак, окончательный вид:
\[ -x² - 4x + 10 = - (x + 2)² + 14 \]
2. Доказать, что x² + 3x + 7 принимает только положительные значения
Чтобы доказать это, нам опять необходимо рассчитать дискриминант:
\[ D = b^2 - 4ac = 3^2 - 4 \cdot 1 \cdot 7 = 9 - 28 = -19 \]
Поскольку дискриминант отрицательный, у этого трёхчлена нет корней. Это означает, что парабола не пересекает ось X и открыта вверх (так как \( a = 1 > 0 \)).
Таким образом, он принимает только положительные значения для любого x.
3. Разложить на множители квадратный трёхчлен
а) Для трёхчлена \( x² - 7x + 10 \):
Найдем множители числа 10, сумма которых равна -7. Это -5 и -2.
Следовательно, разложение:
\[ x² - 7x + 10 = (x - 5)(x - 2) \]
б) Для трёхчлена \( -3x² + 20x + 7 \):
Сначала вынесем -1:
\[ -3(x² - \frac{20}{3}x - \frac{7}{3}) \]
Теперь найдем корни через дискриминант:
\[ D = \left(-\frac{20}{3}\right)² - 4 \cdot 1 \cdot \left(-\frac{7}{3}\right) = \frac{400}{9} + \frac{28}{3} = \frac{400 + 84}{9} = \frac{484}{9} \]
Корни:
\[ x_{1,2} = \frac{\frac{20}{3} \pm \frac{22}{3}}{2} = \left\{ \frac{21}{3}, -\frac{1}{3} \right\} = 7, -\frac{1}{3} \]
Разложение:
\[ -3(x - 7)\left(x + \frac{1}{3}\right) \]
4. Для трёхчлена \( \frac{1}{4}x² + 2x - 1 \)
Сначала находим координату вершины, используя формулу:
\[ x_v = -\frac{b}{2a} = -\frac{2}{2 \cdot \frac{1}{4}} = -\frac{2}{\frac{1}{2}} = -4 \]
Теперь находим значение функции в этой точке:
\[ y_v = \frac{1}{4}(-4)² + 2(-4) - 1 = \frac{16}{4} - 8 - 1 = 4 - 8 - 1 = -5 \]
Ответ: Минимальное значение равно -5 при \( x = -4 \).
5. Свойства функции \( y = (x - 2)² + 3 \)
- Вершина: находится в точке \( (2, 3) \), это точка минимума.
- Форма: Парабола, открыта вверх.
- Наличие экстремума: Минимальное значение равняется 3.
- Область значений: \( y \geq 3 \).
- Неодносторонность: Функция возрастает для \( x > 2 \) и убывает для \( x < 2 \).
Надеюсь, это поможет вам в подготовке! Если возникнут дополнительные вопросы, не стесняйтесь спрашивать!
