Придумать 2 задачи "доказательство от противного"

Конечно, вот две задачи "доказательство от противного":

1. Задача №1: Доказательство от противного существования иррационального числа. Предположим, что корень квадратный из 2 является рациональным числом. То есть, предположим, что можно представить √2 в виде дроби p/q, где p и q - целые числа, и q ≠ 0. Тогда, возведя обе части уравнения в квадрат, получим 2 = (p^2)/(q^2), откуда следует, что p^2 = 2(q^2). Заметим, что p^2 должно быть четным числом, так как оно равно удвоенному произведению. Это означает, что p тоже должно быть четным числом. Предположим, что p = 2k, где k - целое число. Подставляя это обратно в исходное уравнение, получим (2k)^2 = 2(q^2), что эквивалентно 4k^2 = 2(q^2), или q^2 = 2k^2. Заметим, что q^2 также является четным числом, что означает, что q тоже является четным числом. Таким образом, мы приходим к выводу, что и p, и q должны быть четными числами, что противоречит нашему изначальному предположению о том, что p/q является несократимой дробью. Следовательно, корень квадратный из 2 является иррациональным числом.

2. Задача №2: Доказательство от противного простоты числа. Предположим, что целое число n является составным числом. То есть, предположим, что n можно представить в виде произведения двух целых чисел a и b, где 1 < a < n и 1 < b < n. Если это так, то a и b являются делителями n. Но заметим, что хотя a и b меньше n, их произведение ab равно n. Это означает, что одно из чисел a или b должно быть меньше или равно квадратному корню из n. Предположим, что а ≤ √n. Тогда, проверяя все значения a от 2 до √n, мы можем найти делитель a, что позволяет нам заключить, что n является составным числом. Если мы не находим такого делителя, то можно заключить, что n является простым числом.