Log4(x²-3x)<1

Question 1

Задача Задача №1623145

А

Аноним

25 сентября 2024 13:32 · публичный вопрос

А

Аноним 25 сентября 2024 13:32

Log4(x²-3x)<1

Answer

Чтобы решить неравенство \(\log_4(x^2 - 3x) < 1\), начнем с того, что мы можем переписать его в более удобной форме.

Вспомним, что логарифм \(\log_4(a) < 1\) означает, что \(a < 4^1\), то есть \(a < 4\). Таким образом, мы можем записать:

\[ x^2 - 3x < 4 \]

Теперь перенесем 4 влево:

\[ x^2 - 3x - 4 < 0 \]

Теперь мы можем решить это неравенство, сначала найдем корни соответствующего квадратного уравнения:

\[ x^2 - 3x - 4 = 0 \]

Для этого воспользуемся формулой корней квадратного уравнения:

\[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \]

где \(a = 1\), \(b = -3\), \(c = -4\).

Подставим значения:

\[ x = \frac{3 \pm \sqrt{(-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-4)}}{2 \cdot 1} = \frac{3 \pm \sqrt{9 + 16}}{2} = \frac{3 \pm \sqrt{25}}{2} = \frac{3 \pm 5}{2} \]

Теперь найдем два корня:

\(x_1 = \frac{8}{2} = 4\)
\(x_2 = \frac{-2}{2} = -1\)

Теперь у нас есть корни \(x_1 = 4\) и \(x_2 = -1\). Эти корни разделяют числовую ось на три промежутка:

\( (-\infty, -1) \)
\( (-1, 4) \)
\( (4, +\infty) \)

Теперь проверим знак выражения \(x^2 - 3x - 4\) на каждом из промежутков.

На промежутке \( (-\infty, -1) \) (например, подставим \(x = -2\)): \[ (-2)^2 - 3(-2) - 4 = 4 + 6 - 4 = 6 > 0 \]
На промежутке \( (-1, 4) \) (например, подставим \(x = 0\)): \[ 0^2 - 3(0) - 4 = -4 < 0 \]
На промежутке \( (4, +\infty) \) (например, подставим \(x = 5\)): \[ 5^2 - 3(5) - 4 = 25 - 15 - 4 = 6 > 0 \]

Теперь мы видим, что неравенство \(x^2 - 3x - 4 < 0\) выполняется только на промежутке \((-1, 4)\).

Также нужно помнить, что подлогарифмическое выражение должно быть положительным, то есть \(x^2 - 3x > 0\).

Решим это уравнение:

\[ x(x - 3) > 0 \]

Корни этого уравнения: \(x = 0\) и \(x = 3\). Аналогично, у нас есть три промежутка:

\( (-\infty, 0) \)
\( (0, 3) \)
\( (3, +\infty) \)

Проверим знак здесь:

На промежутке \( (-\infty, 0) \) (например, подставим \(x = -1\)): \[ (-1)(-1 - 3) = -1 \cdot -4 > 0 \]
На промежутке \( (0, 3) \) (например, подставим \(x = 1\)): \[ 1(1 - 3) = 1 \cdot -2 < 0 \]
На промежутке \( (3, +\infty) \) (например, подставим \(x = 4\)): \[ 4(4 - 3) = 4 \cdot 1 > 0 \]

Таким образом, выражение \(x(x - 3) > 0\) выполняется на промежутках \((- \infty, 0)\) и \((3, +\infty)\).

Теперь мы должны найти пересечение двух условий:

\((-1, 4)\) из первого неравенства.
\((- \infty, 0) \cup (3, +\infty)\) из второго неравенства.

Пересечение дает нам итоговое решение:

\((-1, 0)\)

Таким образом, множество решений для неравенства \(\log_4(x^2 - 3x) < 1\) — это \((-1, 0)\).

Question 2

log4(x²-3x)<1

Answer

Чтобы решить неравенство \(\log_4(x^2 - 3x) < 1\), начнем с того, что мы можем переписать его в более удобной форме. Вспомним, что логарифм \(\log_4(a) < 1\) означает, что \(a < 4^1\), то есть \(a < 4\). Таким образом, мы можем записать: \[ x^2 - 3x < 4 \] Теперь перенесем 4 влево: \[ x^2 - 3x - 4 < 0 \] Теперь мы можем решить это неравенство, сначала найдем корни соответствующего квадратного уравнения: \[ x^2 - 3x - 4 = 0 \] Для этого воспользуемся формулой корней квадратного уравнения: \[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \] где \(a = 1\), \(b = -3\), \(c = -4\). Подставим значения: \[ x = \frac{3 \pm \sqrt{(-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-4)}}{2 \cdot 1} = \frac{3 \pm \sqrt{9 + 16}}{2} = \frac{3 \pm \sqrt{25}}{2} = \frac{3 \pm 5}{2} \] Теперь найдем два корня: 1. \(x_1 = \frac{8}{2} = 4\) 2. \(x_2 = \frac{-2}{2} = -1\) Теперь у нас есть корни \(x_1 = 4\) и \(x_2 = -1\). Эти корни разделяют числовую ось на три промежутка: 1. \( (-\infty, -1) \) 2. \( (-1, 4) \) 3. \( (4, +\infty) \) Теперь проверим знак выражения \(x^2 - 3x - 4\) на каждом из промежутков. 1. На промежутке \( (-\infty, -1) \) (например, подставим \(x = -2\)): \[ (-2)^2 - 3(-2) - 4 = 4 + 6 - 4 = 6 > 0 \] 2. На промежутке \( (-1, 4) \) (например, подставим \(x = 0\)): \[ 0^2 - 3(0) - 4 = -4 < 0 \] 3. На промежутке \( (4, +\infty) \) (например, подставим \(x = 5\)): \[ 5^2 - 3(5) - 4 = 25 - 15 - 4 = 6 > 0 \] Теперь мы видим, что неравенство \(x^2 - 3x - 4 < 0\) выполняется только на промежутке \((-1, 4)\). Также нужно помнить, что подлогарифмическое выражение должно быть положительным, то есть \(x^2 - 3x > 0\). Решим это уравнение: \[ x(x - 3) > 0 \] Корни этого уравнения: \(x = 0\) и \(x = 3\). Аналогично, у нас есть три промежутка: 1. \( (-\infty, 0) \) 2. \( (0, 3) \) 3. \( (3, +\infty) \) Проверим знак здесь: 1. На промежутке \( (-\infty, 0) \) (например, подставим \(x = -1\)): \[ (-1)(-1 - 3) = -1 \cdot -4 > 0 \] 2. На промежутке \( (0, 3) \) (например, подставим \(x = 1\)): \[ 1(1 - 3) = 1 \cdot -2 < 0 \] 3. На промежутке \( (3, +\infty) \) (например, подставим \(x = 4\)): \[ 4(4 - 3) = 4 \cdot 1 > 0 \] Таким образом, выражение \(x(x - 3) > 0\) выполняется на промежутках \((- \infty, 0)\) и \((3, +\infty)\). Теперь мы должны найти пересечение двух условий: 1. \((-1, 4)\) из первого неравенства. 2. \((- \infty, 0) \cup (3, +\infty)\) из второго неравенства. Пересечение дает нам итоговое решение: \((-1, 0)\) Таким образом, множество решений для неравенства \(\log_4(x^2 - 3x) < 1\) — это \((-1, 0)\).