решите уравнение 2|х-2|=|х|-1

Чтобы решить уравнение \( 2|x-2| = |x| - 1 \), начнем с анализа двух модулей: \( |x-2| \) и \( |x| \). Мы рассмотрим разные случаи в зависимости от значений \( x \).

Шаг 1: Определим случаи

1. Случай 1: \( x < 0 \)

   В этом случае \( |x-2| = 2 - x \) и \( |x| = -x \). Подставляем в уравнение: \[ 2(2 - x) = -x - 1 \] Упрощаем: \[ 4 - 2x = -x - 1 \] Переносим все на одну сторону: \[ 4 + 1 = -x + 2x \] \[ 5 = x \] Это значение выходит за пределы нашего случая \( x < 0 \), поэтому не подходит.

2. Случай 2: \( 0 \leq x < 2 \)

   Здесь \( |x-2| = 2 - x \) и \( |x| = x \). Подставляем в уравнение: \[ 2(2 - x) = x - 1 \] Упрощаем: \[ 4 - 2x = x - 1 \] Переносим все на одну сторону: \[ 4 + 1 = x + 2x \] \[ 5 = 3x \] Решаем: \[ x = \frac{5}{3} \] Значение \( \frac{5}{3} \) попадает в диапазон \( [0, 2) \). Это решение подходит.

3. Случай 3: \( x \geq 2 \)

   В этом самом случае \( |x-2| = x - 2 \) и \( |x| = x \). Подставляем в уравнение: \[ 2(x - 2) = x - 1 \] Упрощаем: \[ 2x - 4 = x - 1 \] Переносим все на одну сторону: \[ 2x - x = 4 - 1 \] \[ x = 3 \] Значение 3 подходит к условию \( x \geq 2 \).

Шаг 2: Итоговые решения

Теперь мы имеем два решения:

1. \( x = \frac{5}{3} \)
2. \( x = 3 \)

Ответ

Значения, удовлетворяющие уравнению \( 2|x-2| = |x| - 1 \) — это \( x = \frac{5}{3} \) и \( x = 3 \).