Твердое тело вращается вокруг неподвижной оси так, что тан- генциальное ускорение точек, расположенных на расстоянии 10 см от оси вращения, меняется по закону 𝑎𝑎𝜏𝜏= 𝐴𝐴𝑡𝑡2+ 𝐶𝐶𝑡𝑡3, где 𝐴𝐴 = 2 см с4⁄, 𝐶𝐶 =– 0,1 см с5⁄. Найти: а) изменение углового ускорения тела за четвер- тую секунду от начала вращения; б) модуль линейной скорости указанных точек в конце третьей секунды от начала вращения.

Чтобы решить эту задачу, давайте разберёмся с каждым из пунктов.

а) Изменение углового ускорения тела за четвертую секунду от начала вращения

Дано тангенциальное ускорение, которое можно записать как:

\[ a_\tau = A t^2 + C t^3 \]

где \( A = 2 \, \text{см/с}^4 \) и \( C = -0,1 \, \text{см/с}^5 \).

Чтобы найти угловое ускорение \( \alpha \), мы используем связь между тангенциальным ускорением и угловым ускорением, которая определяется как:

\[ a_\tau = r \cdot \alpha \]

где \( r = 10 \, \text{см} \) — радиус вращения.

Следовательно, имеем:

\[ \alpha = \frac{a_\tau}{r} \]

Теперь, подставим выражение для \( a_\tau \):

\[ \alpha = \frac{A t^2 + C t^3}{r} \]

Сначала найдем угловое ускорение в конце третьей секунды (при \( t = 3 \) секунды):

\[ \alpha(3) = \frac{2(3^2) - 0,1(3^3)}{10} \]

Расчитаем:

1. \( 2(3^2) = 2 \cdot 9 = 18 \)
2. \( -0,1(3^3) = -0,1 \cdot 27 = -2,7 \)

Теперь подставим эти значения в формулу:

\[ \alpha(3) = \frac{18 - 2,7}{10} = \frac{15,3}{10} = 1,53 \, \text{с}^{-2} \]

Теперь найдем угловое ускорение в конце четвертой секунды (при \( t = 4 \) секунды):

\[ \alpha(4) = \frac{2(4^2) - 0,1(4^3)}{10} \]

Расчитаем:

1. \( 2(4^2) = 2 \cdot 16 = 32 \)
2. \( -0,1(4^3) = -0,1 \cdot 64 = -6,4 \)

Теперь подставим:

\[ \alpha(4) = \frac{32 - 6,4}{10} = \frac{25,6}{10} = 2,56 \, \text{с}^{-2} \]

Теперь находим изменение углового ускорения за четвертую секунду:

\[ \Delta \alpha = \alpha(4) - \alpha(3) = 2,56 - 1,53 = 1,03 \, \text{с}^{-2} \]

б) Модуль линейной скорости указанных точек в конце третьей секунды от начала вращения

Чтобы найти линейную скорость, воспользуемся формулой:

\[ v = r \cdot \omega \]

где угловая скорость \( \omega \) — это интеграл от углового ускорения:

\[ \omega(t) = \int \alpha(t) \, dt \]

Для начала найдем угловую скорость в конце третьей секунды:

\[ \omega(t) = \int (A t^2 + C t^3) \frac{1}{r} \, dt = \frac{1}{10} \left( \frac{A}{3} t^3 + \frac{C}{4} t^4 \right) + C_1 \]

Принимая начальные условия \( \omega(0) = 0 \), мы получаем \( C_1 = 0 \).

Теперь подставим известные значения:

\[ \omega(t) = \frac{1}{10} \left( \frac{2}{3} t^3 - \frac{0,1}{4} t^4 \right) \]

В конце третьей секунды (в \( t = 3 \)):

\[ \omega(3) = \frac{1}{10} \left( \frac{2}{3}(3^3) - \frac{0,1}{4}(3^4) \right) \]

Теперь посчитаем:

1. \( \frac{2}{3}(27) = 18 \)
2. \( -\frac{0,1}{4}(81) = -2,025 \)

Итак, подставляем:

\[ \omega(3) = \frac{1}{10} (18 - 2,025) = \frac{15,975}{10} = 1,5975 \, \text{с}^{-1} \]

Теперь можем найти линейную скорость:

\[ v = r \cdot \omega(3) = 10 \cdot 1,5975 = 15,975 \, \text{см/с} \]

Ответы:

а) Изменение углового ускорения тела за четвертую секунду: \( 1,03 \, \text{с}^{-2} \)
б) Модуль линейной скорости в конце третьей секунды: \( 15,975 \, \text{см/с} \)