Стороны правильного треугольника АВС равны 44√3. Найдите длину вектора АВ+АС.
Чтобы найти длину вектора \( \vec{AB} + \vec{AC} \) для правильного треугольника \( ABC \) со сторонами, равными \( 44\sqrt{3} \), мы можем воспользоваться свойствами векторов и трейбунальной геометрией.
Определим координаты вершин треугольника: Для удобства можно расположить треугольник так, чтобы одна из его вершин находилась в начале координат. Пусть \( A(0, 0) \), \( B(44\sqrt{3}, 0) \) – это вершина, находящаяся на оси абсцисс, а вершина \( C \) будет находиться по координатам \[ C\left(\frac{44\sqrt{3}}{2}, 44\sqrt{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}\right) = \left(22\sqrt{3}, 66\right). \]
Векторы \( \vec{AB} \) и \( \vec{AC} \):
- Вектор \( \vec{AB} \) можно найти, вычитая координаты точки \( A \) из координат точки \( B \): \[ \vec{AB} = B - A = (44\sqrt{3} - 0, 0 - 0) = (44\sqrt{3}, 0). \]
- Вектор \( \vec{AC} \) аналогично: \[ \vec{AC} = C - A = \left(22\sqrt{3} - 0, 66 - 0\right) = (22\sqrt{3}, 66). \]
Сложение векторов: Теперь сложим векторы \( \vec{AB} \) и \( \vec{AC} \): \[ \vec{AB} + \vec{AC} = (44\sqrt{3} + 22\sqrt{3}, 0 + 66) = (66\sqrt{3}, 66). \]
Длина результирующего вектора: Длина вектора \( \vec{AB} + \vec{AC} \) вычисляется по формуле: \[ |\vec{AB} + \vec{AC}| = \sqrt{(66\sqrt{3})^2 + 66^2}. \] Сначала вычислим квадраты: \[ (66\sqrt{3})^2 = 66^2 \cdot 3 = 4356, \] \[ 66^2 = 4356. \] Теперь сложим: \[ 4356 + 4356 = 8712. \] Теперь извлечем квадратный корень: \[ |\vec{AB} + \vec{AC}| = \sqrt{8712} = 66\sqrt{2}. \]
Таким образом, длина вектора \( \vec{AB} + \vec{AC} \) равна \( 66\sqrt{2} \).
