x²+6x≤0
Чтобы решить неравенство \(x^2 + 6x \leq 0\), давайте сначала преобразуем его, вынеся общий множитель.
Сначала выделим общий множитель \(x\): \[ x(x + 6) \leq 0 \]
Теперь у нас есть произведение двух множителей \(x\) и \((x + 6)\). Мы хотим определить, когда это произведение меньше или равно нулю. Для этого найдем корни:
- \(x = 0\) – корень первого множителя.
- \(x + 6 = 0 \Rightarrow x = -6\) – корень второго множителя.
Таким образом, у нас есть два корня: \(x = -6\) и \(x = 0\).
Теперь необходимо проанализировать знаки произведения \(x(x + 6)\) на интервалах, которые определяются корнями:
- Интервал \((-∞, -6)\)
- Интервал \((-6, 0)\)
- Интервал \((0, ∞)\)
Проверим знак произведения в каждом интервале:
- Для интервала \((-∞, -6)\) (например, взяв \(x = -7\)): \[ -7(-7 + 6) = -7(-1) = 7 \quad (\text{положительно}) \]
- Для интервала \((-6, 0)\) (например, взяв \(x = -1\)): \[ -1(-1 + 6) = -1(5) = -5 \quad (\text{отрицательно}) \]
- Для интервала \((0, ∞)\) (например, взяв \(x = 1\)): \[ 1(1 + 6) = 1(7) = 7 \quad (\text{положительно}) \]
Теперь определим, где выражение меньше или равно нулю. Мы видим, что выражение \(x(x + 6)\) отрицательно на интервале \((-6, 0)\) и равно нулю в точках \(x = -6\) и \(x = 0\).
Итак, решение неравенства: \[ -6 \leq x \leq 0 \]
Это означает, что \(x\) может принимать значения от \(-6\) до \(0\), включая эти границы.
