Х ^2+6>-5х
Для решения неравенства \( x^2 + 6 > -5x \) сначала перенесем все члены на одну сторону:
\( x^2 + 5x + 6 > 0 \).
Теперь рассмотрим левую часть неравенства:
\( x^2 + 5x + 6 \).
Для нахождения корней этого квадратичного уравнения воспользуемся дискриминантом:
\[ D = b^2 - 4ac = 5^2 - 4 \cdot 1 \cdot 6 = 25 - 24 = 1. \]
Так как дискриминант положителен, у уравнения будет два различных корня. Найдем их:
\[ x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-5 + \sqrt{1}}{2 \cdot 1} = \frac{-5 + 1}{2} = \frac{-4}{2} = -2, \]
\[ x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-5 - \sqrt{1}}{2 \cdot 1} = \frac{-5 - 1}{2} = \frac{-6}{2} = -3. \]
Теперь можно представить корни в виде \( x_1 = -3 \) и \( x_2 = -2 \). Квадратное уравнение имеет вид \( (x + 3)(x + 2) \).
Теперь определим знаки функции \( x^2 + 5x + 6 \) на интервалах, разделенных корнями:
- \( x < -3 \)
- \( -3 < x < -2 \)
- \( x > -2 \)
Теперь можно подставить значения, чтобы определить знак:
Для \( x < -3 \) (например, \( x = -4 \)): \[ (-4 + 3)(-4 + 2) = (-1)(-2) > 0 \]
Для \( -3 < x < -2 \) (например, \( x = -2.5 \)): \[ (-2.5 + 3)(-2.5 + 2) = (0.5)(-0.5) < 0 \]
Для \( x > -2 \) (например, \( x = -1 \)): \[ (-1 + 3)(-1 + 2) = (2)(1) > 0 \]
Таким образом, неравенство \( x^2 + 5x + 6 > 0 \) выполняется при:
\[ x < -3 \quad \text{и} \quad x > -2. \]
Ответ: \( x \in (-\infty, -3) \cup (-2, \infty) \).
