3)В лыжных гонках участвуют 10 спортсменов из России, 8 спортсменов из Швеции и 7 спортсменов из Норвегии. Порядок, в котором спортсмены стартуют, определяется жребием. Найдите вероятность того, что спортсмен из Швеции будет стартовать последним.
Давайте решим задачу о вероятности, что спортсмен из Швеции будет стартовать последним в лыжных гонках.
Итак, у нас есть:
- 10 спортсменов из России,
- 8 спортсменов из Швеции,
- 7 спортсменов из Норвегии.
Общее количество спортсменов: \[ 10 + 8 + 7 = 25 \text{ спортсменов}. \]
Теперь, нас интересует вероятность того, что последним стартует спортсмен из Швеции. Если мы посмотрим на ситуацию, то у нас 8 спортсменов из Швеции и один из них может стартовать последним.
Общее количество способов, которыми может закончить гонку любой спортсмен (в том числе спортсмен из Швеции) — это просто количество всех возможных порядков всех 25 спортсменов. Поскольку порядок запуска определяется жребием, все 25 спортсменов могут занимать любые позиции.
Таким образом, общее количество возможных порядков стартов: \[ 25! \]
Теперь давайте найдем количество благоприятных исходов для случая, когда спортсмен из Швеции стартует последним. Если спортсмен из Швеции стоит на последнем месте, то остаётся 24 спортсмена (10 из России, 7 из Норвегии и 7 из Швеции, кроме последнего). Их можно расположить в любом порядке. Таким образом, количество благоприятных исходов: \[ 24! \]
Теперь вероятность того, что спортсмен из Швеции будет стартовать последним, равна количеству благоприятных исходов, делённому на общее количество возможных исходов: \[ P(\text{Швед последний}) = \frac{24!}{25!} = \frac{24!}{25 \times 24!} = \frac{1}{25}. \]
Таким образом, вероятность того, что спортсмен из Швеции будет стартовать последним, составляет \( \frac{1}{25} \) или 4%.
