-6x²+13x-5≥0
Для решения неравенства \(-6x^2 + 13x - 5 \geq 0\) начнем с нахождения корней соответствующего уравнения \(-6x^2 + 13x - 5 = 0\).
Находим дискриминант: Дискриминант \(D\) рассчитывается по формуле \(D = b^2 - 4ac\), где \(a = -6\), \(b = 13\) и \(c = -5\).
\[ D = 13^2 - 4 \cdot (-6) \cdot (-5) = 169 - 120 = 49 \]
Нахождение корней: Поскольку дискриминант положительный, уравнение имеет два различных корня. Используем формулу корней квадратного уравнения:
\[ x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} \]
Подставляем значения:
\[ x_{1, 2} = \frac{-13 \pm \sqrt{49}}{2 \cdot (-6)} = \frac{-13 \pm 7}{-12} \]
Вычисляем корни:
\[ x_1 = \frac{-13 + 7}{-12} = \frac{-6}{-12} = \frac{1}{2} \]
\[ x_2 = \frac{-13 - 7}{-12} = \frac{-20}{-12} = \frac{5}{3} \]
Определяем интервалы: Теперь мы имеем корни \(x_1 = \frac{1}{2}\) и \(x_2 = \frac{5}{3}\). Следующий шаг – это определение знака выражения \(-6x^2 + 13x - 5\) на интервалах, определённых этими корнями:
- \( (-\infty, \frac{1}{2}) \)
- \( (\frac{1}{2}, \frac{5}{3}) \)
- \( (\frac{5}{3}, +\infty) \)
Мы выбираем тестовые значения из каждого интервала.
Для интервала \( (-\infty, \frac{1}{2}) \), например, \(x = 0\): \(-6(0)^2 + 13(0) - 5 = -5 < 0\)
Для интервала \( (\frac{1}{2}, \frac{5}{3}) \), например, \(x = 1\): \(-6(1)^2 + 13(1) - 5 = 2 \geq 0\)
Для интервала \( (\frac{5}{3}, +\infty) \), например, \(x = 2\): \(-6(2)^2 + 13(2) - 5 = -1 < 0\)
Записываем решение: Исходя из вышеизложенного, неравенство выполняется на интервале \( \left[\frac{1}{2}, \frac{5}{3}\right] \).
Таким образом, решение неравенства \(-6x^2 + 13x - 5 \geq 0\) будет:
\[ x \in \left[\frac{1}{2}, \frac{5}{3}\right]. \]
