(4 - x)(2 + x)(x - 3) >= 0
Чтобы решить неравенство \((4 - x)(2 + x)(x - 3) \geq 0\), начнем с нахождения нулей каждого множителя.
- Нули множителей:
- \(4 - x = 0 \implies x = 4\)
- \(2 + x = 0 \implies x = -2\)
- \(x - 3 = 0 \implies x = 3\)
Мы нашли нули множителей: \(x = -2\), \(x = 3\) и \(x = 4\). Эти точки разделяют числовую ось на несколько интервалов.
Определим интервалы:
- \( (-\infty, -2) \)
- \( (-2, 3) \)
- \( (3, 4) \)
- \( (4, +\infty) \)
Тестирование знаков: Возьмем тестовые точки из каждого интервала и подставим их в выражение \((4 - x)(2 + x)(x - 3)\), чтобы определить знак:
Для интервала \( (-\infty, -2) \) возьмем \( x = -3 \): \[ (4 - (-3))(2 + (-3))(-3 - 3) = (7)(-1)(-6) > 0 \]
Для интервала \( (-2, 3) \) возьмем \( x = 0 \): \[ (4 - 0)(2 + 0)(0 - 3) = (4)(2)(-3) < 0 \]
Для интервала \( (3, 4) \) возьмем \( x = 3.5 \): \[ (4 - 3.5)(2 + 3.5)(3.5 - 3) = (0.5)(5.5)(0.5) > 0 \]
Для интервала \( (4, +\infty) \) возьмем \( x = 5 \): \[ (4 - 5)(2 + 5)(5 - 3) = (-1)(7)(2) < 0 \]
- Соберем результаты: Теперь мы можем подвести итоги:
- Интервал \( (-\infty, -2) \): положительный
- Интервал \( (-2, 3) \): отрицательный
- Интервал \( (3, 4) \): положительный
- Интервал \( (4, +\infty) \): отрицательный
Важное замечание: необходимо учитывать точки, где выражение равно нулю. То есть, точки \( x = -2\), \( x = 3\) и \( x = 4\) входят в решение, так как мы исследуем неравенство \(\geq 0\).
- Запись ответа в виде интервалов: Объединяя интервалы, где результат положителен или равен нулю, получаем: \[ (-\infty, -2] \cup [3, 4] \]
Итак, данное неравенство выполняется для \(x \in (-\infty, -2]\) и \(x \in [3, 4]\).
