В прааильно тетраэдре DABC с ребром 5 корней из 3 точка N - середина СВ. Найди длину вектора DA - вектор DN

Чтобы найти длину вектора \( \vec{DA} - \vec{DN} \) в правильном тетраэдре \( DABC \) с ребром \( 5\sqrt{3} \), сначала определим координаты всех вершин тетраэдра.

Предположим, что точка \( D \) расположена в начале координат, то есть \( D(0, 0, 0) \). Вершина \( A \) будет находиться на оси X, координаты её будут \( A(5\sqrt{3}, 0, 0) \).

Теперь определим координаты точек \( B \) и \( C \). Для упрощения, давайте поместим тетраэдр в следующую систему координат:

• \( B \) будет иметь координаты \( \left(\frac{5\sqrt{3}}{2}, \frac{5\sqrt{3}}{2}, 0\right) \)
• \( C \) будет расположена на оси Y: \( C\left(\frac{5\sqrt{3}}{2}, 0, \frac{5\sqrt{3}}{2}\right) \).

Точка \( N \) — это середина отрезка \( CB \). Для нахождения её координат используем формулу для средней точки:

\[ N\left(\frac{x_1 + x_2}{2}, \frac{y_1 + y_2}{2}, \frac{z_1 + z_2}{2}\right) \]

Подставляя координаты точек \( C \) и \( B \):

• \( C\left(\frac{5\sqrt{3}}{2}, 0, \frac{5\sqrt{3}}{2}\right) \)
• \( B\left(\frac{5\sqrt{3}}{2}, \frac{5\sqrt{3}}{2}, 0\right) \)

Находим \( N \):

\[ N\left(\frac{\frac{5\sqrt{3}}{2} + \frac{5\sqrt{3}}{2}}{2}, \frac{0 + \frac{5\sqrt{3}}{2}}{2}, \frac{\frac{5\sqrt{3}}{2} + 0}{2}\right) = N\left(\frac{5\sqrt{3}}{2}, \frac{5\sqrt{3}}{4}, \frac{5\sqrt{3}}{4}\right) \]

Теперь находим векторы \( \vec{DA} \) и \( \vec{DN} \):

1. Вектор \( \vec{DA} \):

\[ \vec{DA} = A - D = \left(5\sqrt{3}, 0, 0\right) - (0, 0, 0) = \left(5\sqrt{3}, 0, 0\right) \]

2. Вектор \( \vec{DN} \):

\[ \vec{DN} = N - D = \left(\frac{5\sqrt{3}}{2}, \frac{5\sqrt{3}}{4}, \frac{5\sqrt{3}}{4}\right) - (0, 0, 0) = \left(\frac{5\sqrt{3}}{2}, \frac{5\sqrt{3}}{4}, \frac{5\sqrt{3}}{4}\right) \]

Теперь находим \( \vec{DA} - \vec{DN} \):

\[ \vec{DA} - \vec{DN} = \left(5\sqrt{3}, 0, 0\right) - \left(\frac{5\sqrt{3}}{2}, \frac{5\sqrt{3}}{4}, \frac{5\sqrt{3}}{4}\right) = \left(5\sqrt{3} - \frac{5\sqrt{3}}{2}, -\frac{5\sqrt{3}}{4}, -\frac{5\sqrt{3}}{4}\right) \] \[ = \left(\frac{10\sqrt{3}}{2} - \frac{5\sqrt{3}}{2}, -\frac{5\sqrt{3}}{4}, -\frac{5\sqrt{3}}{4}\right) = \left(\frac{5\sqrt{3}}{2}, -\frac{5\sqrt{3}}{4}, -\frac{5\sqrt{3}}{4}\right) \]

Теперь находим длину этого вектора:

\[ \text{длина} = \sqrt{\left(\frac{5\sqrt{3}}{2}\right)^2 + \left(-\frac{5\sqrt{3}}{4}\right)^2 + \left(-\frac{5\sqrt{3}}{4}\right)^2} \]

\[ = \sqrt{\frac{75}{4} + \frac{75}{16} + \frac{75}{16}} = \sqrt{\frac{75}{4} + \frac{150}{16}} = \sqrt{\frac{300}{16} + \frac{150}{16}} = \sqrt{\frac{450}{16}} = \sqrt{\frac{225}{8}} = \frac{15}{2\sqrt{2}} = \frac{15\sqrt{2}}{4} \]

Таким образом, длина вектора \( \vec{DA} - \vec{DN} \) равна \( \frac{15\sqrt{2}}{4} \).