Найти все целочисленные решения урввнения. x^2-y^2=21

Чтобы найти все целочисленные решения уравнения \( x^2 - y^2 = 21 \), можем воспользоваться разностью квадратов. Уравнение можно переписать в виде:

\[ (x - y)(x + y) = 21. \]

Теперь нам нужно найти все пары целых чисел \( (a, b) \), таких что \( a \cdot b = 21 \), где \( a = x - y \) и \( b = x + y \).

Найдем делители 21:

1. \( 1 \cdot 21 \)
2. \( 3 \cdot 7 \)
3. Также есть отрицательные делители: \( (-1) \cdot (-21) \) и \( (-3) \cdot (-7) \).

Теперь запишем все возможные пары \( (a, b) \):

1. \( (1, 21) \)
2. \( (3, 7) \)
3. \( (7, 3) \)
4. \( (21, 1) \)
5. \( (-1, -21) \)
6. \( (-3, -7) \)
7. \( (-7, -3) \)
8. \( (-21, -1) \)

Теперь, зная \( a \) и \( b \), можем выразить \( x \) и \( y \):

1. \( x = \frac{a + b}{2} \)
2. \( y = \frac{b - a}{2} \)

Теперь рассмотрим каждую пару:

1. Для \( (1, 21) \): \[ x = \frac{1 + 21}{2} = 11, \quad y = \frac{21 - 1}{2} = 10 \quad \Rightarrow \quad (11, 10) \]

2. Для \( (3, 7) \): \[ x = \frac{3 + 7}{2} = 5, \quad y = \frac{7 - 3}{2} = 2 \quad \Rightarrow \quad (5, 2) \]

3. Для \( (7, 3) \): \[ x = \frac{7 + 3}{2} = 5, \quad y = \frac{3 - 7}{2} = -2 \quad \Rightarrow \quad (5, -2) \]

4. Для \( (21, 1) \): \[ x = \frac{21 + 1}{2} = 11, \quad y = \frac{1 - 21}{2} = -10 \quad \Rightarrow \quad (11, -10) \]

5. Для \( (-1, -21) \): \[ x = \frac{-1 - 21}{2} = -11, \quad y = \frac{-21 + 1}{2} = -10 \quad \Rightarrow \quad (-11, -10) \]

6. Для \( (-3, -7) \): \[ x = \frac{-3 - 7}{2} = -5, \quad y = \frac{-7 + 3}{2} = -2 \quad \Rightarrow \quad (-5, -2) \]

7. Для \( (-7, -3) \): \[ x = \frac{-7 - 3}{2} = -5, \quad y = \frac{-3 + 7}{2} = 2 \quad \Rightarrow \quad (-5, 2) \]

8. Для \( (-21, -1) \): \[ x = \frac{-21 - 1}{2} = -11, \quad y = \frac{-1 + 21}{2} = 10 \quad \Rightarrow \quad (-11, 10) \]

Итак, все целочисленные решения уравнения \( x^2 - y^2 = 21 \) будут:

1. \( (11, 10) \)
2. \( (5, 2) \)
3. \( (5, -2) \)
4. \( (11, -10) \)
5. \( (-11, -10) \)
6. \( (-5, -2) \)
7. \( (-5, 2) \)
8. \( (-11, 10) \)

Эти пары \( (x, y) \) являются всеми возможными целочисленными решениями данного уравнения.