(x²+x)(x²+x-5)=84
Чтобы решить уравнение \((x^2 + x)(x^2 + x - 5) = 84\), начнем с упрощения.
Обозначим \(y = x^2 + x\). Тогда уравнение можно переписать как: \[ y(y - 5) = 84 \] Это уравнение можно упростить до: \[ y^2 - 5y - 84 = 0 \]
Теперь решим квадратное уравнение \(y^2 - 5y - 84 = 0\) с помощью формулы корней квадратного уравнения \(y = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}\), где \(a = 1\), \(b = -5\), и \(c = -84\).
Сначала вычислим дискриминант: \[ D = (-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-84) = 25 + 336 = 361 \]
Теперь найдём корни: \[ y = \frac{5 \pm \sqrt{361}}{2 \cdot 1} = \frac{5 \pm 19}{2} \] Это даёт нам два корня: \[ y_1 = \frac{24}{2} = 12, \quad y_2 = \frac{-14}{2} = -7 \]
Поскольку \(y = x^2 + x\), подставим найденные значения \(y\) обратно:
Для \(y_1 = 12\): \[ x^2 + x - 12 = 0 \] Решаем это уравнение: \[ D_1 = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-12) = 1 + 48 = 49 \] \[ x = \frac{-1 \pm \sqrt{49}}{2} = \frac{-1 \pm 7}{2} \] Это даёт: \[ x_1 = \frac{6}{2} = 3, \quad x_2 = \frac{-8}{2} = -4 \]
Для \(y_2 = -7\): \[ x^2 + x + 7 = 0 \] Решаем: \[ D_2 = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot 7 = 1 - 28 = -27 \] Это уравнение не имеет действительных корней, так как дискриминант отрицательный.
Итоговые корни нашего уравнения: \[ x_1 = 3 \quad \text{и} \quad x_2 = -4 \]
Таким образом, уравнение \((x^2 + x)(x^2 + x - 5) = 84\) имеет два действительных корня: \(x = 3\) и \(x = -4\). Если будут дополнительные вопросы, смело задавайте!
