В треугольнике ABC угол C равен 90 ∘ , sin ( A ) = 20 √ 33161 . Найдите тангенс угла B .

В треугольнике ABC, где угол C равен 90°, мы можем использовать свойства прямоугольного треугольника. Поскольку угол C является прямым, углы A и B являются острыми и их сумма равна 90°: A + B = 90°.

Из этого следует, что: \[ \sin(A) = \cos(B) \]

Дано, что \(\sin(A) = \frac{20}{\sqrt{33161}}\).

Так как \(\cos(B) = \sin(A)\), это также равняется \(\frac{20}{\sqrt{33161}}\).

Теперь используем соотношение для тангенса: \[ \tan(B) = \frac{\sin(B)}{\cos(B)} \] Где \(\sin(B) = \cos(A)\) и \(\cos(B) = \sin(A) = \frac{20}{\sqrt{33161}}\).

Мы знаем, что: \[ \sin^2(A) + \cos^2(A) = 1 \]

Следовательно, \(\cos^2(A) = 1 - \sin^2(A)\): \[ \sin^2(A) = \left(\frac{20}{\sqrt{33161}}\right)^2 = \frac{400}{33161} \] \[ \cos^2(A) = 1 - \frac{400}{33161} = \frac{33161 - 400}{33161} = \frac{32761}{33161} \]

Теперь можем найти \(\sin(B) = \cos(A)\): \[ \sin(B) = \sqrt{\cos^2(A)} = \sqrt{\frac{32761}{33161}} = \frac{\sqrt{32761}}{\sqrt{33161}} \]

Теперь подставим в формулу для тангенса: \[ \tan(B) = \frac{\sin(B)}{\cos(B)} = \frac{\frac{\sqrt{32761}}{\sqrt{33161}}}{\frac{20}{\sqrt{33161}}} = \frac{\sqrt{32761}}{20} \]

Итак, окончательный ответ для тангенса угла B: \[ \tan(B) = \frac{\sqrt{32761}}{20} \]