y = e ^ (- x) * (x ^ 2 + 6x + 6)производная
Чтобы найти производную функции \( y = e^{-x} (x^2 + 6x + 6) \), используем правило произведения для нахождения производных. Правило гласит, что если у нас есть две функции \( u(x) \) и \( v(x) \), то производная их произведения \( y = u(x) v(x) \) вычисляется по формуле:
\[ y' = u'v + uv' \]
В нашем случае:
- \( u(x) = e^{-x} \)
- \( v(x) = x^2 + 6x + 6 \)
Теперь найдем производные \( u' \) и \( v' \):
Производная \( u(x) = e^{-x} \): \[ u' = -e^{-x} \]
Производная \( v(x) = x^2 + 6x + 6 \): \[ v' = 2x + 6 \]
Теперь подставим эти производные в формулу правила произведения:
\[ y' = u'v + uv' = (-e^{-x})(x^2 + 6x + 6) + (e^{-x})(2x + 6) \]
Теперь упростим это выражение:
\[ y' = -e^{-x}(x^2 + 6x + 6) + e^{-x}(2x + 6) \]
Вынесем \( e^{-x} \) за скобки:
\[ y' = e^{-x} \left( - (x^2 + 6x + 6) + (2x + 6) \right) \]
Теперь упростим выражение в скобках:
\[ - (x^2 + 6x + 6) + (2x + 6) = -x^2 - 6x - 6 + 2x + 6 = -x^2 - 4x \]
Таким образом, производная функции будет:
\[ y' = e^{-x} (-x^2 - 4x) \]
Или в стандартной форме:
\[ y' = -e^{-x} (x^2 + 4x) \]
Это и есть ответ на ваш вопрос. Если у вас есть дополнительные вопросы или нужно объяснить что-то еще, не стесняйтесь спрашивать!
