X³+5x²-x-5=0

Чтобы решить уравнение \( x^3 + 5x^2 - x - 5 = 0 \), давайте рассмотрим его более подробно.

1. Факторизация: Постараемся разложить кубический многочлен на множители. Для начала попробуем найти корни этого уравнения методом подбора. Мы можем пробовать подставить различные значения \( x \).

   Проверим, например, \( x = 1 \): \[ 1^3 + 5 \cdot 1^2 - 1 - 5 = 1 + 5 - 1 - 5 = 0. \] Значит, \( x = 1 \) является корнем уравнения!

2. Деление на \( x - 1 \): Теперь, когда мы знаем один корень, можем разделить \( x^3 + 5x^2 - x - 5 \) на \( x - 1 \) с помощью деления многочленов.

   После деления мы получим: \[ x^3 + 5x^2 - x - 5 = (x - 1)(x^2 + 6x + 5). \]

3. Квадратное уравнение: Теперь нам нужно решить уравнение \( x^2 + 6x + 5 = 0 \). Мы можем использовать формулу для решения квадратных уравнений: \[ x = \frac{{-b \pm \sqrt{{b^2 - 4ac}}}}{2a}, \] где \( a = 1, b = 6, c = 5 \): \[ x = \frac{{-6 \pm \sqrt{{6^2 - 4 \cdot 1 \cdot 5}}}}{2 \cdot 1} = \frac{{-6 \pm \sqrt{{36 - 20}}}}{2} = \frac{{-6 \pm \sqrt{16}}}{2} = \frac{{-6 \pm 4}}{2}. \] Это дает нам два возможных решения: \[ x_1 = \frac{{-6 + 4}}{2} = -1, \quad x_2 = \frac{{-6 - 4}}{2} = -5. \]

4. Итог: Таким образом, уравнение \( x^3 + 5x^2 - x - 5 = 0 \) имеет три корня: \[ x_1 = 1, \quad x_2 = -1, \quad x_3 = -5. \]

Если у вас есть дополнительные вопросы или необходимо пояснить какой-то шаг, дайте знать!