В параллелограмме A B C D : \А В \ = 4, \A D \ = 2, А = 60°, точка К — середина стороны CD , прямые B D и А К пересекаются в точке М . Найти AM, MB

В параллелограмме ABCD, известны следующие данные: \( AB = 4 \), \( AD = 2 \), угол \( A = 60° \). Мы знаем, что точка \( K \) — середина стороны \( CD \), и прямые \( BD \) и \( AK \) пересекаются в точке \( M \). Необходимо найти отрезки \( AM \) и \( MB \).

1. Сначала найдем координаты точек параллелограмма в системе координат.

   • Положим, что:
     • \( A(0, 0) \)
     • \( B(4, 0) \) (по оси \( x \) на расстоянии 4)
     • \( D(0, 2) \) (по оси \( y \) на расстоянии 2).

   Теперь найдем координаты точки \( C \). Учитывая, что \( C \) лежит на параллельной стороне \( AD \), имеем:

   • \( C(4, 2) \).

2. Найдем координаты точки \( K \), середины отрезка \( CD \): \[ K = \left( \frac{x_C + x_D}{2}, \frac{y_C + y_D}{2} \right) = \left( \frac{4 + 0}{2}, \frac{2 + 2}{2} \right) = (2, 2). \]

3. Далее найдём уравнение прямой \( AK \):

   • У слов \( A(0, 0) \) и \( K(2, 2) \) можно найти наклон (угловой коэффициент): \[ k_{AK} = \frac{y_K - y_A}{x_K - x_A} = \frac{2 - 0}{2 - 0} = 1. \] Уравнение прямой \( AK \): \[ y = x. \]

4. Теперь найдем уравнение прямой \( BD \):

   • У слов \( B(4, 0) \) и \( D(0, 2) \): \[ k_{BD} = \frac{y_D - y_B}{x_D - x_B} = \frac{2 - 0}{0 - 4} = -\frac{1}{2}. \] Уравнение прямой \( BD \): \[ y - 0 = -\frac{1}{2}(x - 4) \quad \Rightarrow \quad y = -\frac{1}{2}x + 2. \]

5. Найдем точку пересечения \( M \) прямых \( AK \) и \( BD \): \[ x = -\frac{1}{2}x + 2. \] Переносим все \( x \) в одну сторону: \[ \frac{3}{2}x = 2 \quad \Rightarrow \quad x = \frac{4}{3}. \] Подставляем \( x \) в уравнение \( y = x \): \[ y = \frac{4}{3}. \] Таким образом, \( M \left( \frac{4}{3}, \frac{4}{3} \right) \).

6. Теперь найдем длины отрезков \( AM \) и \( MB \):

   • Для \( AM \): \[ AM = \sqrt{(x_M - x_A)^2 + (y_M - y_A)^2} = \sqrt{\left(\frac{4}{3} - 0\right)^2 + \left(\frac{4}{3} - 0\right)^2} = \sqrt{2 \cdot \left(\frac{4}{3}\right)^2} = \frac{4\sqrt{2}}{3}. \]

   • Для \( MB \): \[ MB = \sqrt{(x_M - x_B)^2 + (y_M - y_B)^2} = \sqrt{\left(\frac{4}{3} - 4\right)^2 + \left(\frac{4}{3} - 0\right)^2} = \sqrt{\left(-\frac{8}{3}\right)^2 + \left(\frac{4}{3}\right)^2} = \sqrt{\frac{64}{9} + \frac{16}{9}} = \sqrt{\frac{80}{9}} = \frac{4\sqrt{5}}{3}. \]

Итак, конечный ответ:

• \( AM = \frac{4\sqrt{2}}{3} \)
• \( MB = \frac{4\sqrt{5}}{3} \)