Докажите, что является нечётной функция у= f (x): 1) f (x) = x³+sinx; 2) f (x) = x⁵sin²x; 3) f (x) = (2-x²)sin³x; 4) f (x) = x-sin³x; 5) f(x) = sinx/x⁴-4; 6) f (x) = sin6x/x²-9.
Для того чтобы доказать, что функция является нечётной, нужно показать, что выполняется следующее условие: \( f(-x) = -f(x) \) для всех \( x \) из области определения функции.
Давайте рассмотрим каждую функцию по очереди.
\( f(x) = x^3 + \sin x \)
Проверим: \[ f(-x) = (-x)^3 + \sin(-x) = -x^3 - \sin x \]
Сравним с \( -f(x) \): \[ -f(x) = -(x^3 + \sin x) = -x^3 - \sin x \]
Таким образом, \( f(-x) = -f(x) \). Следовательно, эта функция нечётная.
\( f(x) = x^5 \sin^2 x \)
Проверим: \[ f(-x) = (-x)^5 \sin^2(-x) = -x^5 \sin^2 x \]
Сравним с \( -f(x) \): \[ -f(x) = - (x^5 \sin^2 x) = -x^5 \sin^2 x \]
Таким образом, \( f(-x) = -f(x) \), и функция нечётная.
\( f(x) = (2 - x^2) \sin^3 x \)
Проверим: \[ f(-x) = (2 - (-x)^2) \sin^3(-x) = (2 - x^2)(-\sin^3 x) = -(2 - x^2) \sin^3 x \]
Сравним с \( -f(x) \): \[ -f(x) = -[(2 - x^2) \sin^3 x] = -(2 - x^2) \sin^3 x \]
Здесь также выполняется равенство \( f(-x) = -f(x) \), функция нечётная.
\( f(x) = x - \sin^3 x \)
Проверим: \[ f(-x) = -x - \sin^3(-x) = -x + \sin^3 x \]
Сравним с \( -f(x) \): \[ -f(x) = - (x - \sin^3 x) = -x + \sin^3 x \]
Таким образом, \( f(-x) = -f(x) \). Функция нечётная.
\( f(x) = \frac{\sin x}{x^4 - 4} \)
Проверим: \[ f(-x) = \frac{\sin(-x)}{(-x)^4 - 4} = \frac{-\sin x}{x^4 - 4} \]
Сравним с \( -f(x) \): \[ -f(x) = -\left(\frac{\sin x}{x^4 - 4}\right) = \frac{-\sin x}{x^4 - 4} \]
Таким образом, \( f(-x) = -f(x) \). Функция нечётная.
\( f(x) = \frac{\sin 6x}{x^2 - 9} \)
Проверим: \[ f(-x) = \frac{\sin(6(-x))}{(-x)^2 - 9} = \frac{-\sin(6x)}{x^2 - 9} \]
Сравним с \( -f(x) \): \[ -f(x) = -\left(\frac{\sin(6x)}{x^2 - 9}\right) = \frac{-\sin(6x)}{x^2 - 9} \]
Здесь также выполняется равенство \( f(-x) = -f(x) \). Функция нечётная.
Таким образом, все указанные функции являются нечётными. Если нужны дополнительные разъяснения по какому-либо из пунктов, пожалуйста, дайте знать!
