(2/x-4)-(x+8/x²-16)-(1/x)
Чтобы решить выражение \((2/(x-4)) - ((x+8)/(x^2-16)) - (1/x)\), начнем с упрощения деталей. Обратите внимание, что \(x^2 - 16\) можно разложить на множители, так как это разность квадратов:
\[x^2 - 16 = (x - 4)(x + 4).\]
Теперь мы можем переписать второе слагаемое:
\[\frac{x + 8}{x^2 - 16} = \frac{x + 8}{(x - 4)(x + 4)}.\]
Теперь у нас есть выражение:
\[ \frac{2}{x - 4} - \frac{x + 8}{(x - 4)(x + 4)} - \frac{1}{x}. \]
Чтобы упростить его, найдем общий знаменатель. Общим знаменателем для всех трех дробей будет \(x(x - 4)(x + 4)\). Перепишем каждую дробь с этим знаменателем:
- Для первой дроби:
\[ \frac{2}{x - 4} = \frac{2x(x + 4)}{x(x - 4)(x + 4)}. \]
- Для второй дроби:
\[ -\frac{x + 8}{(x - 4)(x + 4)} = -\frac{(x + 8)x}{x(x - 4)(x + 4)}. \]
- Для третьей дроби:
\[ -\frac{1}{x} = -\frac{(x - 4)(x + 4)}{x(x - 4)(x + 4)}. \]
Теперь объедините все дроби, имея общий знаменатель:
\[ \frac{2x(x + 4) - (x + 8)x - (x - 4)(x + 4)}{x(x - 4)(x + 4)}. \]
Раскрываем скобки и упрощаем числитель:
- \(2x^2 + 8x\);
- \(-(x^2 + 8x)\);
- \(-(x^2 - 16)\) = \(-x^2 + 16\).
Теперь складываем:
\[ 2x^2 + 8x - x^2 - 8x - x^2 + 16 = 16. \]
Таким образом, числитель упрощается до:
\[16.\]
Теперь наше выражение выглядит так:
\[ \frac{16}{x(x - 4)(x + 4)}. \]
Таким образом, окончательный ответ:
\[ \frac{16}{x(x - 4)(x + 4)}. \]
