Найти целые корни уравнения x'3+3x'2-5x-4=0
Чтобы найти целые корни уравнения \(x^3 + 3x^2 - 5x - 4 = 0\), мы можем воспользоваться теоремой о целых корнях. Эта теорема утверждает, что любые возможные целые корни уравнения с целыми коэффициентами могут быть найдены среди делителей свободного члена.
В данном уравнении свободный член равен -4. Его делители: \( \pm 1, \pm 2, \pm 4 \).
Теперь мы проверим каждый из этих делителей, подставляя их в уравнение:
Проверим \(x = 1\): \[ 1^3 + 3(1^2) - 5(1) - 4 = 1 + 3 - 5 - 4 = -5 \quad (\text{не корень}) \]
Проверим \(x = -1\): \[ (-1)^3 + 3(-1)^2 - 5(-1) - 4 = -1 + 3 + 5 - 4 = 3 \quad (\text{не корень}) \]
Проверим \(x = 2\): \[ 2^3 + 3(2^2) - 5(2) - 4 = 8 + 12 - 10 - 4 = 6 \quad (\text{не корень}) \]
Проверим \(x = -2\): \[ (-2)^3 + 3(-2)^2 - 5(-2) - 4 = -8 + 12 + 10 - 4 = 10 \quad (\text{не корень}) \]
Проверим \(x = 4\): \[ 4^3 + 3(4^2) - 5(4) - 4 = 64 + 48 - 20 - 4 = 88 \quad (\text{не корень}) \]
Проверим \(x = -4\): \[ (-4)^3 + 3(-4)^2 - 5(-4) - 4 = -64 + 48 + 20 - 4 = 0 \quad (\text{это корень}) \]
Мы нашли один целый корень: \(x = -4\).
Теперь, чтобы найти остальные корни, можно использовать деление многочленов, разделив \(x^3 + 3x^2 - 5x - 4\) на \(x + 4\) (так как \(x = -4\) является корнем). После деления мы получим квадратичный многочлен, который можно решить с помощью формулы корней квадратного уравнения или методом факторизации.
Если произведем деление, то получим: \[ x^3 + 3x^2 - 5x - 4 = (x + 4)(x^2 - x - 1) \]
Теперь найдем корни уравнения \(x^2 - x - 1 = 0\) с помощью формулы: \[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \] где \(a = 1\), \(b = -1\), \(c = -1\).
Подставим значения в формулу: \[ x = \frac{1 \pm \sqrt{(-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-1)}}{2 \cdot 1} = \frac{1 \pm \sqrt{1 + 4}}{2} = \frac{1 \pm \sqrt{5}}{2} \]
Получаем два действительных корня: \[ x_1 = \frac{1 + \sqrt{5}}{2} \quad \text{и} \quad x_2 = \frac{1 - \sqrt{5}}{2} \]
Итак, нашими целыми корнями уравнения являются: \[ x = -4 \quad (\text{и два иррациональных корня}). \]
