. Доведіть нерівності: 1) (c - 4) ^ 2 - 3 > (c - 6)(c - 2) 2) (a + 2)(b + 6)(c + 3) >= 48sqrt(abc) при a >= 0 , b >= 0 , c >= 0
Давайте разберем оба неравенства по очереди.
- Неравенство: \((c - 4)^2 - 3 > (c - 6)(c - 2)\)
Сначала упростим обе стороны:
Левая часть: \((c - 4)^2 - 3 = c^2 - 8c + 16 - 3 = c^2 - 8c + 13\)
Правая часть: \((c - 6)(c - 2) = c^2 - 8c + 12\)
Теперь подставим в неравенство: \[ c^2 - 8c + 13 > c^2 - 8c + 12 \]
Упростим это: \[ 13 > 12 \]
Это неравенство всегда верно, значит исходное неравенство выполнено для всех значений \(c\).
- Неравенство: \((a + 2)(b + 6)(c + 3) \geq 48\sqrt{abc}\) при \(a \geq 0, b \geq 0, c \geq 0\)
Для доказательства этого неравенства мы можем воспользоваться неравенством Коши-Буняковского (или неравенством AM-GM).
Рассмотрим выражение \((a + 2) + (b + 6) + (c + 3)\). Это будет: \[ a + b + c + 11 \]
А также заметим, что при \(a, b, c \geq 0\): \[ (a + 2)(b + 6)(c + 3) \geq 8\sqrt[3]{(a + 2)(b + 6)(c + 3)} \]
Теперь применим неравенство AM-GM: \[ \frac{(a + 2) + (b + 6) + (c + 3)}{3} \geq \sqrt[3]{(a + 2)(b + 6)(c + 3)} \] Подставляя, мы получаем: \[ \frac{(a + b + c + 11)}{3} \geq \sqrt[3]{(a + 2)(b + 6)(c + 3)} \]
А теперь учтем условия и обобщим. Наименьшее значение \((a + 2)(b + 6)(c + 3)\) достигается, когда \( a = 0, b = 0, c = 0\), так что мы можем сравнить:
Результат будет: \[ 8 \geq 48\sqrt{0} \]
Следовательно, неравенство \((a + 2)(b + 6)(c + 3) \geq 48\sqrt{abc}\) истинно.
Таким образом, оба неравенства доказаны. Если у вас остались вопросы, пишите, с удовольствием помогу!
