(х-10)⁴4+5(х-10)²-36=0

Чтобы решить уравнение \((x-10)^{4} + 5(x-10)^{2} - 36 = 0\), начнем с замены переменной. Пусть \(y = (x - 10)^{2}\). Тогда уравнение примет вид:

\[ y^{2} + 5y - 36 = 0. \]

Теперь мы можем решить это квадратное уравнение, используя дискриминант. Дискриминант \(D\) рассчитывается по формуле:

\[ D = b^{2} - 4ac, \]

где \(a = 1\), \(b = 5\), \(c = -36\). Подставляем значения:

\[ D = 5^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (-36) = 25 + 144 = 169. \]

Так как дискриминант положителен, уравнение имеет два различных корня. Найдем их с помощью формулы корней квадратного уравнения:

\[ y_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-5 \pm \sqrt{169}}{2 \cdot 1} = \frac{-5 \pm 13}{2}. \]

Теперь вычислим корни:

1. Первый корень: \[ y_1 = \frac{-5 + 13}{2} = \frac{8}{2} = 4. \]

2. Второй корень: \[ y_2 = \frac{-5 - 13}{2} = \frac{-18}{2} = -9. \]

Поскольку \(y = (x - 10)^{2}\), и \(y_2\) не может быть отрицательным, остановимся на \(y_1 = 4\).

Теперь вернемся к переменной \(x\):

\[ (x - 10)^{2} = 4. \]

Извлекаем корень:

\[ x - 10 = 2 \quad \text{или} \quad x - 10 = -2. \]

Решения будут:

1. \( x = 12 \)
2. \( x = 8 \)

Таким образом, уравнение \((x-10)^{4} + 5(x-10)^{2} - 36 = 0\) имеет два решения: \(x = 12\) и \(x = 8\).