2. Два автомобиля одновременно отправляются в 360-километровый пробег. Первый едет со скоростью на 30 км/ч меньшей, чем второй, и прибывает к финишу на 2 ч позже второго. Найдите скорость первого автомобиля.
Давайте разберем задачу шаг за шагом.
Обозначим:
- Скорость первого автомобиля — \( v_1 \) км/ч.
- Скорость второго автомобиля — \( v_2 \) км/ч.
Согласно условию, скорость первого автомобиля меньше скорости второго на 30 км/ч: \[ v_1 = v_2 - 30 \]
Также дано, что первый автомобиль прибывает на 2 часа позже второго. Путь обоих автомобилей составляет 360 километров.
Для первого автомобиля время в пути можно выразить как: \[ t_1 = \frac{360}{v_1} \]
Для второго автомобиля время в пути: \[ t_2 = \frac{360}{v_2} \]
Согласно условию, можно записать уравнение: \[ t_1 = t_2 + 2 \]
Теперь подставим выражения для времени в уравнение: \[ \frac{360}{v_1} = \frac{360}{v_2} + 2 \]
Теперь заменим \( v_1 \) на \( v_2 - 30 \): \[ \frac{360}{v_2 - 30} = \frac{360}{v_2} + 2 \]
Теперь умножим обе стороны на \( v_2(v_2 - 30) \), чтобы избавиться от дробей: \[ 360v_2 = 360(v_2 - 30) + 2v_2(v_2 - 30) \]
Раскроем скобки: \[ 360v_2 = 360v_2 - 10800 + 2v_2^2 - 60v_2 \]
Преобразуем уравнение: \[ 0 = 2v_2^2 - 60v_2 - 10800 \]
Теперь упростим его, разделив на 2: \[ 0 = v_2^2 - 30v_2 - 5400 \]
Чтобы найти корни этого уравнения, используем формулу корней квадратного уравнения: \[ v_2 = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \]
В данном уравнении:
- \( a = 1 \)
- \( b = -30 \)
- \( c = -5400 \)
Подставим значения в формулу: \[ v_2 = \frac{30 \pm \sqrt{(-30)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-5400)}}{2 \cdot 1} \] \[ v_2 = \frac{30 \pm \sqrt{900 + 21600}}{2} \] \[ v_2 = \frac{30 \pm \sqrt{22500}}{2} \] \[ v_2 = \frac{30 \pm 150}{2} \]
Теперь найдем два возможных решения:
- \( v_2 = \frac{180}{2} = 90 \) км/ч
- \( v_2 = \frac{-120}{2} = -60 \) км/ч (не подходит, так как скорость не может быть отрицательной)
Теперь найдем скорость первого автомобиля: \[ v_1 = v_2 - 30 = 90 - 30 = 60 \] км/ч.
Таким образом, скорость первого автомобиля составляет 60 км/ч.
