При якому значенні параметра (c + 1) * x ^ 2 + (2c + 2) * x - 5 = 0 має один корінь?
Чтобы уравнение второго порядка \( (c + 1) x^2 + (2c + 2)x - 5 = 0 \) имело один корень, необходимо, чтобы его дискриминант был равен нулю. Дискриминант \( D \) для квадратного уравнения \( ax^2 + bx + c = 0 \) вычисляется по формуле:
\[ D = b^2 - 4ac \]
В нашем уравнении:
- \( a = c + 1 \)
- \( b = 2c + 2 \)
- \( c = -5 \)
Подставим эти значения в формулу для дискриминанта:
\[ D = (2c + 2)^2 - 4(c + 1)(-5) \]
Упростим выражение:
Вычислим \( (2c + 2)^2 \): \[ (2c + 2)^2 = 4c^2 + 8c + 4 \]
Вычислим \( -4(c + 1)(-5) \): \[ -4(c + 1)(-5) = 20(c + 1) = 20c + 20 \]
Теперь объединим оба выражения:
\[ D = 4c^2 + 8c + 4 + 20c + 20 \] \[ D = 4c^2 + 28c + 24 \]
Для того чтобы уравнение имело один корень, дискриминант должен быть равен нулю:
\[ 4c^2 + 28c + 24 = 0 \]
Упростим уравнение, разделив его на 4:
\[ c^2 + 7c + 6 = 0 \]
Теперь найдем корни этого квадратного уравнения. Для этого используем формулу корней:
\[ c = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} \]
Где \( D \) для \( c^2 + 7c + 6 = 0 \) будет:
\[ D = 7^2 - 4 \cdot 1 \cdot 6 = 49 - 24 = 25 \]
Теперь подставим в формулу:
\[ c = \frac{-7 \pm 5}{2} \]
Найдем два возможных значения \( c \):
- \( c = \frac{-7 + 5}{2} = \frac{-2}{2} = -1 \)
- \( c = \frac{-7 - 5}{2} = \frac{-12}{2} = -6 \)
Таким образом, уравнение \( (c + 1) x^2 + (2c + 2)x - 5 = 0 \) имеет один корень при \( c = -1 \) или \( c = -6 \).
