Найти уравнение касательной к графику y=f(x) где f(x)=x^(3)-3x^(2)-3x+5 и параллельно прямой y=-3x+4

Чтобы найти уравнение касательной к графику функции \(y = f(x) = x^3 - 3x^2 - 3x + 5\), которая параллельна прямой \(y = -3x + 4\), нам нужно сначала определить производную функции, так как наклон касательной к графику функции в конкретной точке равен значению производной в этой точке.

1. Найдем производную функции: \[ f'(x) = \frac{d}{dx}(x^3 - 3x^2 - 3x + 5) \] Используем правила дифференцирования: \[ f'(x) = 3x^2 - 6x - 3 \]

2. Установим, что производная должна быть равна -3 (наклон прямой): \[ 3x^2 - 6x - 3 = -3 \]

Упростим уравнение: \[ 3x^2 - 6x = 0 \] \[ 3x(x - 2) = 0 \]

Это уравнение имеет два корня: \[ x = 0 \quad \text{или} \quad x = 2 \]

3. Находим соответствующие значения y для обоих x:

• Для \(x = 0\): \[ f(0) = 0^3 - 3(0^2) - 3(0) + 5 = 5 \] Координаты точки: \((0, 5)\)

• Для \(x = 2\): \[ f(2) = 2^3 - 3(2^2) - 3(2) + 5 = 8 - 12 - 6 + 5 = -5 \] Координаты точки: \((2, -5)\)

4. Запишем уравнения касательных: Касательная к графику функции в целом имеет вид: \[ y - y_0 = m(x - x_0) \] где \(m\) – наклон (в нашем случае -3), а \((x_0, y_0)\) – точка касания.

• Для точки \((0, 5)\): \[ y - 5 = -3(x - 0) \] \[ y = -3x + 5 \]

• Для точки \((2, -5)\): \[ y - (-5) = -3(x - 2) \] \[ y + 5 = -3x + 6 \] \[ y = -3x + 1 \]

Таким образом, уравнения касательных, параллельных прямой \(y = -3x + 4\):

1. \(y = -3x + 5\)
2. \(y = -3x + 1\)

Если у вас есть еще вопросы, не стесняйтесь спрашивать!