Докожите что 1÷(2a+3)-1÷(2a+1)<0 если a>0

Давайте разберем неравенство \( \frac{1}{2a+3} - \frac{1}{2a+1} < 0 \) при условии, что \( a > 0 \).

Для того чтобы решить это неравенство, начнем с того, что необходимо привести обе дроби к общему знаменателю. Общий знаменатель для дробей \( 2a+3 \) и \( 2a+1 \) будет равен \( (2a+3)(2a+1) \).

Перепишем неравенство:

\[ \frac{1}{2a+3} - \frac{1}{2a+1} < 0 \]

Теперь приведем дроби к общему знаменателю:

\[ \frac{(2a+1) - (2a+3)}{(2a+3)(2a+1)} < 0 \]

Упрощаем числитель:

\[ 2a + 1 - 2a - 3 = 1 - 3 = -2 \]

Таким образом, наше неравенство принимает следующий вид:

\[ \frac{-2}{(2a+3)(2a+1)} < 0 \]

Теперь анализируем полученное выражение. Числитель \(-2\) всегда отрицателен. Для того чтобы весь дробь была меньше нуля, знаменатель \((2a+3)(2a+1)\) должен быть положительным.

Теперь проанализируем отдельные множители:

1. \( 2a + 3 \) всегда положительно для всех \( a > 0 \), так как при \( a = 0 \) он равен 3, и с увеличением \( a \) будет только увеличиваться.
2. \( 2a + 1 \) также всегда положительно для всех \( a > 0 \), так как при \( a = 0 \) он равен 1, и снова с увеличением \( a \) также возрастает.

Так как оба множителя положительны, произведение \((2a+3)(2a+1)\) также положительно при \( a > 0 \).

Теперь мы можем заключить, что:

\[ \frac{-2}{(2a+3)(2a+1)} < 0 \]

для всех \( a > 0 \).

Таким образом, неравенство \( \frac{1}{2a+3} - \frac{1}{2a+1} < 0 \) доказано.