Найти наибольшее и наименьшее значение функции f(x)=-2x/x^(2)+1

Чтобы найти наибольшее и наименьшее значение функции \( f(x) = \frac{-2x}{x^2 + 1} \), мы сначала упростим задачу, найдя производную функции и определив критические точки.

1. Найдем производную функции. Используем правило частного для дифференцирования:

\[ f'(x) = \frac{(x^2 + 1)(-2) - (-2x)(2x)}{(x^2 + 1)^2} \]

Упрощаем числитель:

\[ f'(x) = \frac{-2(x^2 + 1) + 4x^2}{(x^2 + 1)^2} = \frac{2x^2 - 2}{(x^2 + 1)^2} = \frac{2(x^2 - 1)}{(x^2 + 1)^2} \]

2. Найдем критические точки, приравняв производную к нулю:

\[ 2(x^2 - 1) = 0 \implies x^2 - 1 = 0 \implies x^2 = 1 \implies x = 1 \text{ или } x = -1 \]

3. Проверим значения функции в критических точках:

\[ f(1) = \frac{-2 \cdot 1}{1^2 + 1} = \frac{-2}{2} = -1 \]

\[ f(-1) = \frac{-2 \cdot (-1)}{(-1)^2 + 1} = \frac{2}{2} = 1 \]

4. А также проверим поведение функции при стремлении \( x \) к бесконечности:

\[ \lim_{x \to \infty} f(x) = \lim_{x \to \infty} \frac{-2x}{x^2 + 1} = \lim_{x \to \infty} \frac{-2}{x} = 0 \]

\[ \lim_{x \to -\infty} f(x) = \lim_{x \to -\infty} \frac{-2x}{x^2 + 1} = \lim_{x \to -\infty} \frac{-2}{x} = 0 \]

5. Сравним значения:

• При \( x = 1 \), \( f(1) = -1 \)
• При \( x = -1 \), \( f(-1) = 1 \)
• При \( x \to \pm \infty \), \( f(x) \to 0 \)

Таким образом, максимальное значение функции \( f(x) \) равно 1, а минимальное значение равно -1.

Ответ: Наименьшее значение функции \( f(x) \) равно -1, наибольшее значение равно 1.