Развертка боковой поверхности цилиндра является квадратом, диагональ которого равна 10 см. найдите площадь боковой поверхности цилиндра
Для нахождения площади боковой поверхности цилиндра, сначала найдем его радиус и высоту, используя информацию о квадрате.
Диагональ квадрата \(d = 10 \, \text{см}\). Сторона квадрата \(a\) может быть найдена по формуле диагонали квадрата:
\[ d = a\sqrt{2} \]
Отсюда найдем сторону квадрата:
\[ a = \frac{d}{\sqrt{2}} = \frac{10}{\sqrt{2}} = 5\sqrt{2} \, \text{см} \]
Боковая поверхность цилиндра разворачивается в прямоугольник, где одна сторона равна высоте \(h\), а другая — окружности основания \(C = 2\pi r\). В данном случае одна сторона прямоугольника равна стороне квадрата, то есть \(a\).
То есть:
\[ 2\pi r = a = 5\sqrt{2} \, \text{см} \]
При этом высота \(h\) равна другой стороне квадрата, но мы не знаем ее напрямую. Обозначим параллельно \(h = a = 5\sqrt{2} \, \text{см}\).
Площадь боковой поверхности цилиндра \(S\) рассчитывается по формуле:
\[ S = 2\pi r h \]
Заменим \(h\) и \(r\) соответственно:
Найдем радиус \(r\) через \(a\):
\[ r = \frac{a}{2\pi} = \frac{5\sqrt{2}}{2\pi} \]
Теперь подставим радиус и высоту в формулу для площади:
\[ S = 2\pi \left(\frac{5\sqrt{2}}{2\pi}\right) (5\sqrt{2}) = 2\pi \left(\frac{5\sqrt{2}}{2\pi}\cdot5\sqrt{2}\right) \] \[ S = 2\pi \left(\frac{25 \cdot 2}{2\pi}\right) = 25 \, \text{см}^2 \]
Таким образом, площадь боковой поверхности цилиндра равна \(25 \, \text{см}^2\).
