решить уравнение z⁴+12z²+32=0
Чтобы решить уравнение \( z^4 + 12z^2 + 32 = 0 \), мы можем сделать замену переменной.
Обозначим \( w = z^2 \). Тогда уравнение можно переписать как:
\[ w^2 + 12w + 32 = 0 \]
Теперь это квадратное уравнение можно решить с помощью дискриминанта.
Дискриминант \( D \) вычисляется по формуле:
\[ D = b^2 - 4ac \]
В нашем случае \( a = 1 \), \( b = 12 \), и \( c = 32 \). Подставим значения в формулу:
\[ D = 12^2 - 4 \cdot 1 \cdot 32 = 144 - 128 = 16 \]
Теперь, так как дискриминант положительный, у уравнения два разных корня. Используем формулу для нахождения корней квадратного уравнения:
\[ w_1, w_2 = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} \]
Подставляем наши значения:
\[ w_1, w_2 = \frac{-12 \pm \sqrt{16}}{2 \cdot 1} = \frac{-12 \pm 4}{2} \]
Вычислим корни:
- Первой корень:
\[ w_1 = \frac{-12 + 4}{2} = \frac{-8}{2} = -4 \]
- Второй корень:
\[ w_2 = \frac{-12 - 4}{2} = \frac{-16}{2} = -8 \]
Теперь у нас есть корни \( w_1 = -4 \) и \( w_2 = -8 \). Поскольку мы делали замену \( w = z^2 \), мы можем записать два новых уравнения:
- \( z^2 = -4 \)
- \( z^2 = -8 \)
Теперь решим эти уравнения. Для \( z^2 = -4 \):
\[ z = \pm 2i \]
И для \( z^2 = -8 \):
\[ z = \pm 2\sqrt{2}i \]
Таким образом, все корни нашего исходного уравнения:
\[ z_1 = 2i, \quad z_2 = -2i, \quad z_3 = 2\sqrt{2}i, \quad z_4 = -2\sqrt{2}i \]
Это окончательные решения уравнения \( z^4 + 12z^2 + 32 = 0 \).
