х-5/х+3-8/3-х=48/х²-9

Чтобы решить уравнение

\[ \frac{x-5}{x+3} - \frac{8}{3-x} = \frac{48}{x^2-9}, \]

начнем с упрощения левой части.

Сначала преобразуем \(3 - x\) в \(-(x - 3)\), чтобы легче было работать с дробями.

Получаем:

\[ \frac{x-5}{x+3} + \frac{8}{x-3} = \frac{48}{(x-3)(x+3)}. \]

Теперь найдем общий знаменатель для левой части, он будет равен \((x+3)(x-3)\):

\[ \frac{(x-5)(x-3) + 8(x+3)}{(x+3)(x-3)} = \frac{48}{(x-3)(x+3)}. \]

Теперь приравняем числители:

\[ (x-5)(x-3) + 8(x+3) = 48. \]

Раскроем скобки:

\[ x^2 - 3x - 5x + 15 + 8x + 24 = 48. \]

Соберем подобные:

\[ x^2 + 15 - 48 = 0, \]

что дает:

\[ x^2 + 15 - 48 = 0 \implies x^2 - 9 = 0. \]

Теперь у нас есть квадратное уравнение:

\[ x^2 - 9 = 0. \]

Решим это уравнение как разность квадратов:

\[ (x - 3)(x + 3) = 0. \]

Таким образом, \(x - 3 = 0\) или \(x + 3 = 0\), что ведет к решениям:

\[ x = 3 \quad \text{или} \quad x = -3. \]

Теперь важно проверить, не равны ли данные значения 0 или не приводят ли они к делению на ноль в исходных дробях.

При \(x = 3\) дробь \(\frac{8}{3-x}\) приводит к делению на ноль, поэтому это значение не подходит.

При \(x = -3\) в уравнении также возникнет деление на ноль, поскольку знаменатель \((x + 3)\) станет равным нулю.

Таким образом, в исходном уравнении нет действительных решений.