В треугольнике AВC AB = корень из 2, АС= 1 см, угол A = 135°. Найдите угол С. 9 класс
Для решения задачи о треугольнике ABC, где AB = √2, AC = 1 см и угол A = 135°, можно использовать теорему косинусов.
Согласно теореме косинусов, у нас есть следующая формула:
\[ c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cdot \cos(C) \]
Где:
- \( c \) — сторона напротив угла \( C \),
- \( a \) и \( b \) — другие стороны треугольника,
- \( C \) — угол, который мы хотим найти.
В нашем случае:
- \( AB = c = \sqrt{2} \)
- \( AC = b = 1 \)
- \( \angle A = 135° \)
- \( BC = a \) (мы его еще не знаем)
Сначала найдем сторону \( BC \) (обозначим ее как \( a \)) с помощью теоремы косинусов, переупорядочив ее для нахождения угла:
\[ \sqrt{2}^2 = 1^2 + a^2 - 2 \cdot 1 \cdot a \cdot \cos(135°) \]
Заметим, что \( \cos(135°) = -\frac{1}{\sqrt{2}} \). Теперь подставим это значение в уравнение:
\[ 2 = 1 + a^2 - 2 \cdot 1 \cdot a \cdot \left(-\frac{1}{\sqrt{2}}\right) \]
Упрощая уравнение, получаем:
\[ 2 = 1 + a^2 + \frac{2a}{\sqrt{2}} \]
Преобразуем:
\[ 2 = 1 + a^2 + \sqrt{2}a \]
Теперь приведем все к одной стороне:
\[ a^2 + \sqrt{2}a + 1 - 2 = 0 \]
Что упрощается до:
\[ a^2 + \sqrt{2}a - 1 = 0 \]
Теперь применим формулу квадратичного уравнения:
\[ a = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \]
В нашем случае \( b = \sqrt{2} \), \( a = 1 \) и \( c = -1 \):
\[ a = \frac{-\sqrt{2} \pm \sqrt{(\sqrt{2})^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-1)}}{2 \cdot 1} \]
Решая это:
\[ a = \frac{-\sqrt{2} \pm \sqrt{2 + 4}}{2} = \frac{-\sqrt{2} \pm \sqrt{6}}{2} \]
Теперь у нас есть значение \( a \). Далее, чтобы найти угол \( C \), вернемся к теореме косинусов. Найдем \( \cos C \):
\[ \cos(C) = \frac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab} \]
Подставим значения:
\[ \cos(C) = \frac{a^2 + 1^2 - (\sqrt{2})^2}{2 \cdot 1 \cdot a} = \frac{a^2 + 1 - 2}{2a} = \frac{a^2 - 1}{2a} \]
С помощью найденного значения \( a \) подставим его в это уравнение и вычислим угол \( C \).
Находим угол \( C \) используя арккосинус:
\[ C = \arccos\left(\frac{a^2 - 1}{2a}\right) \]
После всех вычислений, вы сможете найти точное значение угла \( C \). Так как в этой задаче используются специфические значения и уравнения, обязательно проводите точные вычисления, чтобы получить значение угла в градусах. Успехов в учебе!
