Докажите,что числа 969 и 364 - взаимно простые

Чтобы показать, что числа 969 и 364 являются взаимно простыми, нужно доказать, что их наибольший общий делитель (НОД) равен 1. Это значит, что у них нет общих делителей, кроме 1.

Мы можем использовать метод деления с остатком (алгоритм Евклида) для нахождения НОД двух чисел. Давайте раскроем шаги:

1. Начнем с деления большего числа 969 на меньшее число 364.

   • 969 ÷ 364 = 2 (целая часть), остаток равен 241.
   • Следовательно, 969 = 364 * 2 + 241.

2. Теперь применим тот же метод: возьмём 364 и 241.

   • 364 ÷ 241 = 1 (целая часть), остаток равен 123.
   • 364 = 241 * 1 + 123.

3. Продолжаем с 241 и 123.

   • 241 ÷ 123 = 1 (целая часть), остаток равен 118.
   • 241 = 123 * 1 + 118.

4. Продолжаем с 123 и 118.

   • 123 ÷ 118 = 1 (целая часть), остаток равен 5.
   • 123 = 118 * 1 + 5.

5. Теперь используем 118 и 5.

   • 118 ÷ 5 = 23 (целая часть), остаток равен 3.
   • 118 = 5 * 23 + 3.

6. Теперь используем 5 и 3.

   • 5 ÷ 3 = 1 (целая часть), остаток равен 2.
   • 5 = 3 * 1 + 2.

7. Теперь используем 3 и 2.

   • 3 ÷ 2 = 1 (целая часть), остаток равен 1.
   • 3 = 2 * 1 + 1.

8. Наконец, используем 2 и 1.

   • 2 ÷ 1 = 2 (целая часть), остаток равен 0.
   • 2 = 1 * 2 + 0.

Как только остаток стал равным 0, мы останавливаемся. Последний ненулевой остаток равен 1. Это означает, что НОД(969, 364) = 1.

Итак, поскольку НОД равен 1, числа 969 и 364 являются взаимно простыми числами.