На плоскости отметили 10 точек, причём никакие три из них не лежат на одной прямой. Через каждую пару этих точек провели прямую. Сколько при этом получилось прямых?

Чтобы решить эту задачу, мы можем воспользоваться комбинациями. У нас есть 10 точек, и нам нужно выбрать любые 2 точки, чтобы провести прямую. Количество способов выбрать 2 точки из 10 можно вычислить с помощью формулы для сочетаний:

\[ C(n, k) = \frac{n!}{k!(n-k)!} \]

где \( n \) — общее количество объектов (в нашем случае 10 точек), а \( k \) — количество выбираемых объектов (в нашем случае 2 точки).

Подставляем значения:

\[ C(10, 2) = \frac{10!}{2!(10-2)!} = \frac{10!}{2! \cdot 8!} \]

Упрощаем:

\[ C(10, 2) = \frac{10 \times 9}{2 \times 1} = \frac{90}{2} = 45 \]

Таким образом, через каждую пару из 10 точек можно провести 45 уникальных прямых. Ответ: 45 прямых.