Точка С лежит на отрезке АВ причем АС:ВС=2:3 докажите вектор ОС=3/5 Вектор ОА + 2/5 Вектор ОА ,если О произвольная точка

Рассмотрим точку \( C \), которая делит отрезок \( AB \) в отношении \( AC : BC = 2 : 3 \). Это означает, что точка \( C \) находится на отрезке \( AB \) таким образом, что часть \( AC \) составляет \( \frac{2}{5} \) всего отрезка \( AB \), а часть \( BC \) – \( \frac{3}{5} \).

Обозначим вектор \( \vec{O A} \) как \( \vec{a} \) и вектор \( \vec{O B} \) как \( \vec{b} \). Тогда вектор \( \vec{C} \) можно выразить через векторы \( \vec{A} \) и \( \vec{B} \).

Точка \( C \) делит отрезок \( AB \) в отношении \( 2:3 \). Чтобы записать это векторно, используем формулу для нахождения точки, которая делит отрезок в данной пропорции:

\[ \vec{C} = \frac{m \vec{B} + n \vec{A}}{m + n} \]

где \( m \) и \( n \) – это части, на которые делится отрезок (в нашем случае \( m = 3 \) и \( n = 2 \)). Подставим значения:

\[ \vec{C} = \frac{3 \vec{A} + 2 \vec{B}}{3 + 2} = \frac{3 \vec{A} + 2 \vec{B}}{5} \]

Теперь, чтобы выразить \( \vec{C} \) через \( \vec{O A} \) и \( \vec{O B} \) относительно произвольной точки \( O \), запишем:

\[ \vec{C} = \frac{3}{5} \vec{b} + \frac{2}{5} \vec{a} \]

Таким образом, мы приходим к искомому равенству. Мы доказали, что вектор \( \vec{C} \) можно записать как:

\[ \vec{C} = \frac{3}{5} \vec{O B} + \frac{2}{5} \vec{O A} \]

Это и является достойным доказательством.