Зависимость скорости материальной точки от времени задана формулой v = 6t. Написать уравнение движения задано x =x(T) , если в начальный момент( t = 0.) Движущаяся точка находилась в начале координата( x =0.) Вычислите путь пройденным материальной точкой за 10 секунд.

Чтобы найти уравнение движения материальной точки и вычислить пройденный путь за 10 секунд, начнем с заданной зависимости скорости от времени:

\[ v(t) = 6t. \]

Скорость является производной положения по времени:

\[ v(t) = \frac{dx}{dt}. \]

Теперь запишем уравнение:

\[ \frac{dx}{dt} = 6t. \]

Чтобы найти положение точки \( x(t) \), необходимо интегрировать скорость по времени. Интегрируем обе стороны уравнения:

\[ x(t) = \int 6t \, dt. \]

При интегрировании получаем:

\[ x(t) = 6 \cdot \frac{t^2}{2} + C = 3t^2 + C, \]

где \( C \) - это постоянная интегрирования. Поскольку в начальный момент времени (при \( t = 0 \)) точка находилась в начале координат, то \( x(0) = 0 \). Подставим это условие:

\[ 0 = 3(0)^2 + C \Rightarrow C = 0. \]

Таким образом, уравнение движения будет:

\[ x(t) = 3t^2. \]

Теперь вычислим путь, пройденный материальной точкой за 10 секунд. Подставим \( t = 10 \) в уравнение:

\[ x(10) = 3(10)^2 = 3 \cdot 100 = 300. \]

Следовательно, путь, пройденный материальной точкой за 10 секунд, составляет 300 метров.