Две стороны треугольника относятся как 5: 3, а угол между ними равен 120°. Найдите эти стороны, если периметр треугольника равен 15 см.

Для решения задачи, давайте обозначим длины сторон треугольника, которые относятся как 5:3. Пусть одна сторона равна \(5x\), а другая — \(3x\).

Периметр треугольника равен 15 см, следовательно:

\[ 5x + 3x + c = 15 \]

где \(c\) — третья сторона треугольника.

Соберем подобные слагаемые:

\[ 8x + c = 15 \]

Теперь нам нужно найти третью сторону \(c\). Используя закон косинусов, можно выразить \(c\):

\[ c^2 = (5x)^2 + (3x)^2 - 2 \cdot (5x) \cdot (3x) \cdot \cos(120^\circ) \]

Зная, что \(\cos(120^\circ) = -\frac{1}{2}\), можем подставить это значение в уравнение:

\[ c^2 = 25x^2 + 9x^2 + 2 \cdot (5x) \cdot (3x) \cdot \frac{1}{2} \]

\[ c^2 = 25x^2 + 9x^2 + 15x^2 \]

\[ c^2 = 49x^2 \]

Следовательно, \(c = 7x\).

Теперь подставим \(c\) в уравнение периметра:

\[ 8x + 7x = 15 \]

\[ 15x = 15 \]

Таким образом, \(x = 1\).

Теперь найдём длины сторон:

• Первая сторона: \(5x = 5 \cdot 1 = 5 \) см
• Вторая сторона: \(3x = 3 \cdot 1 = 3 \) см
• Третья сторона: \(c = 7x = 7 \cdot 1 = 7 \) см

Итак, стороны треугольника равны 5 см, 3 см и 7 см.