Найдите меньший угол равнобедренной трапеции  ABCD, если диагональ  AC  образует с основанием  BC  и боковой стороной  CD  углы, равные 30° и 105° соответственно.

Давайте разберем задачу шаг за шагом. Дана равнобедренная трапеция ABCD, где AB — верхнее основание, а CD — нижнее основание, с равными боковыми сторонами AD и BC. Мы знаем, что диагональ AC образует угол 30° с основанием BC и угол 105° с боковой стороной CD. 1. Начнем с угла при основании BC: - Угол BCA равен 30°. 2. Теперь рассмотрим угол CAD: - Угол CAD равен 105°. Однако, так как AC — это диагональ, мы можем использовать внутренний угол трапеции. - Угол ABC (который является смежным к углу CAD) можно найти следующим образом: \[ \angle ABC = 180° - 105° = 75°. \] 3. Теперь мы знаем два угла трапеции: - Угол BCA = 30°, - Угол ABC = 75°. 4. В равнобедренной трапеции сумма углов при основаниях равна 180°. Поскольку угол ABC и угол DAB являются парными углами, мы можем найти угол DAB: \[ \angle DAB = 180° - \angle ABC = 180° - 75° = 105°. \] 5. Теперь у нас есть углы: - Угол DAB = 105°, - Угол ABC = 75°. 6. Угол ACD также является 30° в силу симметрии: \[ \angle ACD = 30°. \] Наконец, меньший угол между углами 30°, 75° и 105° равен 30°. Таким образом, меньший угол равнобедренной трапеции ABCD составляет **30°**.