сократить дробь в⁵-в³_в²-в⁴

Чтобы сократить дробь \(\frac{v^5 - v^3}{v^2 - v^4}\), начнем с факторизации числителя и знаменателя.

1. Факторизация числителя: Числитель можно представить следующим образом: \[ v^5 - v^3 = v^3(v^2 - 1) \] Далее, \(v^2 - 1\) является разностью квадратов, и его можно факторизовать так: \[ v^2 - 1 = (v - 1)(v + 1) \] Таким образом, числитель становится: \[ v^5 - v^3 = v^3(v - 1)(v + 1) \]

2. Факторизация знаменателя: В знаменателе \(v^2 - v^4\) можно вынести общий множитель: \[ v^2 - v^4 = v^2(1 - v^2) \] Снова применим разность квадратов к \(1 - v^2\): \[ 1 - v^2 = (1 - v)(1 + v) \] Итак, знаменатель становится: \[ v^2 - v^4 = v^2(1 - v)(1 + v) \]

3. Подстановка обратно в дробь: Теперь можно подставить эти факторизации в дробь: \[ \frac{v^3(v - 1)(v + 1)}{v^2(1 - v)(1 + v)} \]

4. Сокращение дроби: Обратите внимание, что \(v - 1 = -(1 - v)\), так что можно переписать дробь: \[ \frac{v^3(v - 1)(v + 1)}{v^2(- (v - 1)(1 + v))} = -\frac{v^3}{v^2} \] При сокращении \(v - 1\) и \(1 + v\) (так как они присутствуют как в числителе, так и в знаменателе) остается: \[ -\frac{v^3}{v^2} = -v \]

Таким образом, сократив дробь, получаем окончательный ответ: \[ -v \]