Сколько существует таких натуральных n, не превосходящих 2012, что сумма 1n + 2n + 3n + 4n оканчивается на 0?

Чтобы определить, сколько существует натуральных чисел \( n \), не превосходящих 2012, для которых сумма \( 1^n + 2^n + 3^n + 4^n \) оканчивается на 0, мы должны проанализировать, как эта сумма ведёт себя по модулю 10.

Сначала рассмотрим каждое из чисел \( 1^n, 2^n, 3^n \) и \( 4^n \) по модулю 10, так как нас интересует последняя цифра суммы.

1. \( 1^n \) всегда даёт 1 по модулю 10, то есть \( 1^n \equiv 1 \mod 10 \).

2. \( 2^n \) циклически повторяется с периодом 4:

   • \( 2^1 \equiv 2 \)
   • \( 2^2 \equiv 4 \)
   • \( 2^3 \equiv 8 \)
   • \( 2^4 \equiv 6 \) Далее снова: \( 2^5 \equiv 2 \) и так далее.

3. \( 3^n \) также циклически повторяется с периодом 4:

   • \( 3^1 \equiv 3 \)
   • \( 3^2 \equiv 9 \)
   • \( 3^3 \equiv 7 \)
   • \( 3^4 \equiv 1 \) Итак, повторяется: \( 3^5 \equiv 3 \) и так далее.

4. \( 4^n \) повторяется с периодом 2:

   • \( 4^1 \equiv 4 \)
   • \( 4^2 \equiv 6 \) После этого: \( 4^3 \equiv 4 \), \( 4^4 \equiv 6 \) и так далее.

Теперь мы можем собрать все возможные результаты на основе \( n \mod 4 \):

• Если \( n \equiv 1 \mod 4 \): \[ 1^n + 2^n + 3^n + 4^n \equiv 1 + 2 + 3 + 4 \equiv 10 \equiv 0 \mod 10 \]

• Если \( n \equiv 2 \mod 4 \): \[ 1^n + 2^n + 3^n + 4^n \equiv 1 + 4 + 9 + 6 \equiv 20 \equiv 0 \mod 10 \]

• Если \( n \equiv 3 \mod 4 \): \[ 1^n + 2^n + 3^n + 4^n \equiv 1 + 8 + 7 + 4 \equiv 20 \equiv 0 \mod 10 \]

• Если \( n \equiv 0 \mod 4 \): \[ 1^n + 2^n + 3^n + 4^n \equiv 1 + 6 + 1 + 6 \equiv 14 \equiv 4 \mod 10 \]

Таким образом, суммы заканчиваются на 0, когда \( n \equiv 1, 2, 3 \mod 4 \).

Теперь нам нужно найти \( n \) от 1 до 2012, соответствующие этим условиям:

• Числа \( n \equiv 1 \mod 4 \): \( 1, 5, 9, \ldots , 2009 \) (первое и последнее).
• Числа \( n \equiv 2 \mod 4 \): \( 2, 6, 10, \ldots , 2010 \).
• Числа \( n \equiv 3 \mod 4 \): \( 3, 7, 11, \ldots , 2011 \).

Каждая из этих последовательностей — это арифметическая прогрессия с разностью 4.

1. Для \( n \equiv 1 \mod 4 \):

   • Первый член: 1; последний член: 2009.
   • Количество членов: \( \frac{2009 - 1}{4} + 1 = 503 \).

2. Для \( n \equiv 2 \mod 4 \):

   • Первый член: 2; последний член: 2010.
   • Количество членов: \( \frac{2010 - 2}{4} + 1 = 503 \).

3. Для \( n \equiv 3 \mod 4 \):

   • Первый член: 3; последний член: 2011.
   • Количество членов: \( \frac{2011 - 3}{4} + 1 = 503 \).

Теперь сложим все количества: \[ 503 + 503 + 503 = 1509. \]

Таким образом, существует 1509 натуральных \( n \), не превосходящих 2012, для которых сумма \( 1^n + 2^n + 3^n + 4^n \) оканчивается на 0.