x³+4x²-9x=36

Для решения уравнения \( x^3 + 4x^2 - 9x = 36 \), сначала перенесем все члены в одну сторону уравнения, чтобы получить стандартный вид:

\[ x^3 + 4x^2 - 9x - 36 = 0 \]

Теперь у нас есть кубическое уравнение. Одним из способов решения таких уравнений является проба найти хотя бы один корень с помощью подбора, а затем деление полинома на найденный корень.

Давайте попробуем подставить некоторые целые значения для \( x \):

• Для \( x = 2 \): \[ 2^3 + 4(2^2) - 9(2) - 36 = 8 + 16 - 18 - 36 = -30 \quad \text{(не корень)} \]

• Для \( x = -3 \): \[ (-3)^3 + 4(-3)^2 - 9(-3) - 36 = -27 + 36 + 27 - 36 = 0 \quad \text{(корень)} \]

Теперь, зная, что \( x = -3 \) является корнем, можно использовать деление многочлена на \( x + 3 \) для нахождения остальных корней.

Мы будем делить \( x^3 + 4x^2 - 9x - 36 \) на \( x + 3 \):

1. Разделим первый член: \( x^3 \div x = x^2 \).
2. Умножим \( x^2 \) на \( x + 3 \): \( x^3 + 3x^2 \).
3. Вычтем результат из нашего уравнения: \[ (x^3 + 4x^2 - 9x - 36) - (x^3 + 3x^2) = x^2 - 9x - 36. \]

Теперь повторим процесс деления для многочлена \( x^2 - 9x - 36 \):

1. Разделим первый член: \( x^2 \div x = x \).
2. Умножим \( x \) на \( x + 3 \): \( x^2 + 3x \).
3. Вычтем: \[ (x^2 - 9x - 36) - (x^2 + 3x) = -12x - 36. \]

И снова делим:

1. Разделим \( -12x \div x = -12 \).
2. Умножим \( -12 \) на \( x + 3 \): \( -12x - 36 \).
3. Вычтем: \[ (-12x - 36) - (-12x - 36) = 0. \]

Таким образом, мы разложили многочлен на множители: \[ x^3 + 4x^2 - 9x - 36 = (x + 3)(x^2 + x - 12). \]

Теперь решим квадратное уравнение \( x^2 + x - 12 = 0 \) с помощью формулы дискриминанта:

\[ D = b^2 - 4ac = 1^2 - 4(1)(-12) = 1 + 48 = 49. \]

Теперь находим корни: \[ x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-1 \pm 7}{2}. \]

Таким образом, корни: \[ x_1 = \frac{6}{2} = 3, \] \[ x_2 = \frac{-8}{2} = -4. \]

Ответ - корни уравнения \( x = -3, x = 3, x = -4 \).