Существует ли такое вещественное α, что число cos α иррационально, а все числа cos 2α, cos 3α, cos 4α, cos 5α рациональны?

Да, существует вещественное число \( \alpha \), для которого \( \cos \alpha \) иррационально, а \( \cos 2\alpha, \cos 3\alpha, \cos 4\alpha, \cos 5\alpha \) являются рациональными.

Чтобы это понять, рассмотрим, например, значение \( \alpha = \frac{\pi}{3} \). В этом случае:

• \( \cos \frac{\pi}{3} = \frac{1}{2} \), что является рациональным числом.
• Если взять \( \alpha = \frac{\pi}{4} \), то \( \cos \frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2} \), что является иррациональным числом.

Однако, чтобы найти подходящее \( \alpha \) с заданными свойствами, мы можем воспользоваться другой техникой, например, можно выбрать \( \alpha \) в виде \(\alpha = \cos^{-1}(x)\) для нерационального \( x \). Если \( x \) является иррациональным, то \( \cos \alpha \) будет иррациональным. При этом мы можем использовать формулы на основе косинуса, например:

\[ \cos(n\alpha) \]

где \( n \) - целое число, и такие формулы зависят от значений \( \cos \alpha \) и \( \sin \alpha \). Таким образом, для некоторых значений \( \alpha \), приведенного с использованием непрерывных дробей или как корень какого-либо алгебраического уравнения с рациональными коэффициентами, мы можем получить, что некоторые последовательные косинусы рациональные, а другие — нет.

Для более конкретного примера можно рассмотреть следующее: пусть:

• \( \alpha = \frac{\pi \sqrt{2}}{4} \) (так, чтобы \( \cos \alpha \) был иррациональным).

Затем, используя тригонометрические идентичности, можно проверить, что \( \cos 2\alpha, \cos 3\alpha \) и так далее получаются как рациональные числа.

Таким образом, существует множество комбинаций, которые удовлетворяют этому условию.