Если длину прямоугольного участка уменьшить на 10м а ширину увеличить на 10м то площадь участка увеличится на 0.05 га; если же длину увеличить на 15м а ширину уменьшить на 10м то площадь участка увеличится на 0.01 га. Определите площадь земельного участка

Давайте разберемся с этой задачей. Обозначим длину прямоугольного участка как \( l \) метров, а ширину как \( w \) метров. Площадь участка можно выразить формулой:

\[ S = l \cdot w \]

Из условия задачи у нас есть два сценария для изменения размеров участка:

1. Если длину уменьшить на 10 м, а ширину увеличить на 10 м, то новая площадь увеличится на 0.05 га (что равно 500 м²).

   Новый размер прямоугольника будет: \[ (l - 10) \cdot (w + 10) \] Следовательно, у нас есть уравнение: \[ (l - 10)(w + 10) = lw + 500 \]

   Раскроем скобки: \[ lw + 10l - 10w - 100 = lw + 500 \] Упростим: \[ 10l - 10w - 100 = 500 \] Или: \[ 10l - 10w = 600 \quad \Rightarrow \quad l - w = 60 \quad (1) \]

2. Если длину увеличить на 15 м, а ширину уменьшить на 10 м, то новая площадь увеличится на 0.01 га (что равно 100 м²).

   Новый размер прямоугольника будет: \[ (l + 15)(w - 10) \] У нас есть другое уравнение: \[ (l + 15)(w - 10) = lw + 100 \]

   Раскроем скобки: \[ lw - 10l + 15w - 150 = lw + 100 \] Упростим: \[ -10l + 15w - 150 = 100 \] Или: \[ -10l + 15w = 250 \quad \Rightarrow \quad 2l - 3w = -50 \quad (2) \]

Теперь у нас есть система из двух уравнений:

1. \( l - w = 60 \)
2. \( 2l - 3w = -50 \)

Подставим выражение \( l = w + 60 \) из первого уравнения во второе:

\[ 2(w + 60) - 3w = -50 \] Раскроем скобки: \[ 2w + 120 - 3w = -50 \] Упростим: \[ -w + 120 = -50 \] \[ -w = -50 - 120 \] \[ -w = -170 \quad \Rightarrow \quad w = 170 \]

Теперь подставим значение \( w \) обратно в первое уравнение, чтобы найти \( l \):

\[ l = w + 60 = 170 + 60 = 230 \]

Теперь мы можем найти площадь земельного участка:

\[ S = l \cdot w = 230 \cdot 170 = 39100 \quad \text{м²} \]

Таким образом, площадь земельного участка составляет 39100 м², или 3.91 га.