За 2 ч катер прошел 25 км по течению реки и 12 км против течения. В другой раз тот же катер за 3 ч прошел 35 км по течению и 20 км против течения. Определите собственную скорость катера и скорость течения реки

Для решения задачи обозначим:

• V — собственная скорость катера (в км/ч).
• C — скорость течения реки (в км/ч).

Из условия задачи составим два уравнения для двух поездок.

1. В первом случае катер прошёл 25 км по течению и 12 км против течения за 2 часа.
   • Скорость по течению: \( V + C \)
   • Скорость против течения: \( V - C \)

Таким образом, у нас есть уравнение: \[ \frac{25}{V + C} + \frac{12}{V - C} = 2 \]

2. Во втором случае катер прошёл 35 км по течению и 20 км против течения за 3 часа.
   • Для этого случая у нас есть уравнение: \[ \frac{35}{V + C} + \frac{20}{V - C} = 3 \]

Теперь у нас есть система из двух уравнений:

1. \(\frac{25}{V + C} + \frac{12}{V - C} = 2\)
2. \(\frac{35}{V + C} + \frac{20}{V - C} = 3\)

Чтобы решить эту систему, давайте выразим \( \frac{1}{V + C} \) и \( \frac{1}{V - C} \) через новые переменные:

• Пусть \( x = \frac{1}{V + C} \)
• Пусть \( y = \frac{1}{V - C} \)

Тогда наши уравнения можно переписать так:

1. \( 25x + 12y = 2 \)
2. \( 35x + 20y = 3 \)

Теперь умножим первое уравнение на 5 и второе уравнение на 3, чтобы избавиться от дробей:

1. \( 125x + 60y = 10 \)
2. \( 105x + 60y = 9 \)

Теперь вычтем второе уравнение из первого:

\[ (125x + 60y) - (105x + 60y) = 10 - 9 \] \[ 20x = 1 \] \[ x = \frac{1}{20} \]

Теперь, подставляем значение \(x\) в одно из уравнений, например, в первое:

\[ 25 \left(\frac{1}{20}\right) + 12y = 2 \] \[ \frac{25}{20} + 12y = 2 \] \[ \frac{5}{4} + 12y = 2 \] \[ 12y = 2 - \frac{5}{4} \] \[ 12y = \frac{8}{4} - \frac{5}{4} = \frac{3}{4} \] \[ y = \frac{3}{48} = \frac{1}{16} \]

Теперь у нас есть:

\[ \frac{1}{V + C} = \frac{1}{20} \implies V + C = 20 \] \[ \frac{1}{V - C} = \frac{1}{16} \implies V - C = 16 \]

Теперь мы можем решить систему уравнений:

1. \( V + C = 20 \)
2. \( V - C = 16 \)

Сложим два уравнения:

\[ (V + C) + (V - C) = 20 + 16 \] \[ 2V = 36 \implies V = 18 \]

Теперь подставим \(V\) в первое уравнение:

\[ 18 + C = 20 \implies C = 20 - 18 = 2 \]

Таким образом, собственная скорость катера \( V = 18 \) км/ч, а скорость течения реки \( C = 2 \) км/ч.