tg x/2 >= -1

Для решения неравенства \( \tan\left(\frac{x}{2}\right) \geq -1 \), начнем с преобразования его в более удобную форму.

1. Запишем неравенство: \[ \tan\left(\frac{x}{2}\right) \geq -1 \]

2. Найдем, где \( \tan\left(\frac{x}{2}\right) = -1 \). Тангенс равен -1, когда: \[ \frac{x}{2} = -\frac{\pi}{4} + k\pi \quad (k \in \mathbb{Z}) \] Умножив обе стороны на 2, получаем: \[ x = -\frac{\pi}{2} + 2k\pi \]

3. Теперь определим, когда функция тангенса больше -1. Вспомним, что тангенс имеет период \( \pi \), и можно использовать промежутки на одном периоде, чтобы исследовать знак функции:

   Для промежутка \( \left(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right) \) видно, что:

   • Тангенс отрицателен на \( \left(-\frac{\pi}{2}, 0\right) \) и равен -1 в точке \( -\frac{\pi}{4} \).
   • Тангенс положителен на \( \left(0, \frac{\pi}{2}\right) \).

4. Теперь можно обобщить результат. Тангенс меньше либо равен -1 между значениями:

   • \( x = -\frac{\pi}{2} + 2k\pi \) и \( x = \frac{\pi}{2} + 2k\pi, k \in \mathbb{Z} \).

5. Таким образом, общее решение неравенства выглядит следующим образом: \[ x \in \left[-\frac{\pi}{2} + 2k\pi, \frac{\pi}{2} + 2k\pi\right] \quad (k \in \mathbb{Z}) \]

Если у вас есть дополнительные вопросы по данной теме или связанной, пожалуйста, не стесняйтесь спрашивать!