в прямоугольном треугольнике один катет меньше гипотенузы на 8 см а другой на 4 см Найдите гипотенузу
Для решения задачи о прямоугольном треугольнике, давайте обозначим гипотенузу как \( c \), а катеты как \( a \) и \( b \). По условию задачи у нас есть следующие сведения:
- Один катет меньше гипотенузы на 8 см: \( a = c - 8 \).
- Другой катет меньше гипотенузы на 4 см: \( b = c - 4 \).
Теперь можем использовать теорему Пифагора, которая гласит, что сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы:
\[ a^2 + b^2 = c^2 \]
Подставим значения \( a \) и \( b \) в это уравнение:
\[ (c - 8)^2 + (c - 4)^2 = c^2 \]
Теперь раскрываем скобки:
\[ (c^2 - 16c + 64) + (c^2 - 8c + 16) = c^2 \]
Сложим всё это:
\[ 2c^2 - 24c + 80 = c^2 \]
Переносим все члены в одну часть уравнения:
\[ 2c^2 - 24c + 80 - c^2 = 0 \]
Упрощаем:
\[ c^2 - 24c + 80 = 0 \]
Теперь решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта. Напомним формулу для дискриминанта:
\[ D = b^2 - 4ac \]
В нашем случае:
\[ D = (-24)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 80 = 576 - 320 = 256 \]
Так как дискриминант положительный, у нас есть два возможных решения для \( c \):
\[ c = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{24 \pm \sqrt{256}}{2 \cdot 1} = \frac{24 \pm 16}{2} \]
Посчитаем оба случая:
- \( c_1 = \frac{40}{2} = 20 \)
- \( c_2 = \frac{8}{2} = 4 \)
Так как гипотенуза должна быть больше каждого из катетов, выберем решение \( c = 20 \) см.
Таким образом, гипотенуза прямоугольного треугольника составляет 20 см.
